ПРИЛОЖЕНИЕ Д. Преобразование Лапласа
Преобразованием Лапласа называется такая математическая операция, в результате которой функции -оригиналу N (t) ставится в соответствие функция F (p), называемая изображением функции N (t) и определяемая следующим образом: . (Д.1) Из определения следует, что преобразование Лапласа обладает свойством линейности, т.е. . Используя определение (Д.1) и применяя интегрирование по частям, можно показать, что изображение первой производной функции, дифференцируемой в точке t = 0, выглядит как . Обратная операция отыскания оригинала по его изображению называется обратным преобразованием Лапласа. Обратное преобразование Лапласа также линейно. Для отыскания оригиналов существуют таблицы, найти которые можно в математических справочниках. Приведем здесь краткую выдержку из подобной таблицы.
Указанные свойства преобразования Лапласа и обратного ему преобразования позволяют использовать их для решения систем линейных дифференциальных уравнений с заданными начальными условиями. Рассмотрим решение двух первых уравнений системы, описывающей скорость радиоактивных превращений в простейшей цепочке из двух радионуклидов: , , (6.2) и . Применим преобразование Лапласа к левой и правой частям этих уравнений. В результате, используя свойство линейности, получим следующую систему алгебраических уравнений , . (Д.2) Выразим F 1(р) из первого уравнения системы (Д.2): . Подставив этот результат во второе уравнение системы (Д.2), получим . (Д.3) Пользуясь свойством линейности обратного преобразования, по таблице находим оригиналы N 1(t) и N 2(t): , . (6.3) Если к первым двум уравнениям системы (6.2) добавить третье, соответствующее следующему превращению в радиоактивной цепочке, , , то отыскание его решения полностью аналогично: . Подставляя в это уравнение F 2(р) из (Д.3), находим, что . Отыскание оригинала по таблице приводит к следующему результату: Решение более сложных систем (в том числе для разветвленных цепочек) методом преобразования Лапласа также не представляет трудности. Однако, как показывает последний пример, аналитические решения Ni (t) при больших i выглядят весьма громоздко. В этом случае для получения результата предпочтительнее использовать алгоритм Бейтмана, изложенный в п. 6.2.
|