Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

В молекулярно-кинетической теории используют идеализированную модель идеального газа. Газ называется идеальным, если при рассмотрении его свойств соблюдаются следующие условия:

1. Столкновения молекул такого газа между собой и со стенками сосуда происходят как соударения упругих шаров;

2. Размеры молекул и их собственный суммарный объем пренебрежимо малы по сравнению с размерами и объемом сосуда;

3. Между молекулами не проявляются силы взаимного притяжения.

Эти условия выполняются для всех газов при не слишком высоких давлениях и не слишком низких температурах, поэтому при условиях, близких к нормальным, газ можно считать идеальным.

Рассмотрим процесс взаимодействия движущихся молекул со стенками сосуда, в котором находится идеальный одноатомный газ. Возьмем сосуд в форме куба с ребром l. В сосуде находится однородный газ. Так как движение носит хаотический характер, то ни одно направление движения не имеет преимущества перед другими. Поэтому можно считать, что в каждом из 3-х направлений движется 1/3 общего числа n молекул, содержащихся в сосуде, [(1/3) ∙ n]. Пусть масса отдельной молекулы m, а скорость v направлена по нормали к грани куба. При упругом ударе молекулы о стенку изменится направление скорости на противоположное и молекула будет двигаться к противоположной грани куба. Изменение импульса молекулы Δp при столкновении со стенкой сосуда равно Δp = mv – (-mv) = 2mv, что будет соответствовать импульсу силы f, с которой отдельная молекула воздействовала на стенку, а стенка на молекулу

f Δt=2mv.

Пройдя путь, равный l и отразившись от противоположной грани, молекула через время Δt=2 l /v вновь столкнется с рассматриваемой гранью куба.

Таким образом, средняя сила, с которой отдельная молекула воздействует на грань сосуда, будет

Так как газ в сосуде однородный, то m₁ = m₂ = m₃ =…= m, т.е. массы молекул равны. Но молекулы имеют разные скорости v₁, v₂, v₃, …, v_n и между двумя противоположными гранями движется 1/3 всех n молекул, находящихся в сосуде. Значит, суммарная сила ударов 1/3 всех n молекул об одну грань куба будет:

Перепишем это выражение, домножив числитель и знаменатель на число молекул n и, сделав некоторые преобразования, получим

Величину называют среднеквадратичной скоростью молекул. Тогда . Разделив обе части на S= l ² площадь грани куба, получим в левой части давление P, а в правой выражение для него

(8.1)

где - концентрация молекул- содержание (количество) молекул в единице объема. Выражение (8.1) представляет собой основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Это уравнение связывает макроскопическую величину P с числом молекул в единице объема, массой молекулы и ее среднеквадратичной скоростью движения.

 

Кинетическая энергия и скорость поступательного движения молекулы. Давление.

Уравнение (8.1) можно представить в виде

.

Величина представляет собой среднюю кинетическую энергию поступательного движения отдельной молекулы. Тогда давление P можно записать в виде:

. (8.2)

Пусть в объеме V находится 1 моль газа. 1 моль газа содержит число молекул, равное числу Авагадро N_A=6 10²³ моль^-1. Тогда концентрация молекул n₀ =N_A/V и уравнение (8.2) принимает вид

.

Уравнение Менделеева-Клапейрона для 1 моля газа имеет вид PV = RT, откуда

.

Отсюда выражение для средней кинетической энергии молекулы ε будет ,

где - есть отношение двух постоянных величин и представляет собой постоянную величину, называемую постоянной Больцмана С учетом этого средняя кинетическая энергия поступательного движения отдельной молекулы связана с температурой Т соотношением

.

В соответствии с этим, нуль абсолютной температуры приобретает следующий смысл:

- при абсолютном нуле отсутствует поступательное движение молекул (хотя остаются другие виды движения, например, внутриатомные), т.к. при Т=0 энергия молекулы ε=0, а следовательно, и ее скорость v=0. Сама абсолютная температура является мерой движения молекул.

Найдем выражение для среднеквадратичной скорости молекулы. Приравняем энергию молекулы, выраженную через температуру и скорость.

Отсюда <v_кв>=

Учитывая что

Для воздуха при комнатной температуре <v_кв> 500м/с. Следовательно, если известна температура газа и его молярная масса (т.е. вид газа), то можно найти среднеквадратичную скорость его молекул. Объединяя формулы и , получим выражение для давления

Давление газа прямопропорционально концентрации молекул n₀ и его абсолютной температуре Т. Это уравнение можно получить непосредственно из уравнения состояния газа – уравнения Менделеева-Клапейрона. Выразим из этого уравнения давление

.

Домножим числитель и знаменатель на число Авагадро N_A, и учитывая,что m/M, умноженное на N_A есть число молекул n в объеме V, а -постоянная Больцмана, получим