Первый метод Ляпунова

План лекции

Методы исследования линейных систем

1. Первый метод Ляпунова

2. Классификация неподвижных точек на плоскости

3. Примеры анализа систем с использованием первого метода Ляпунова

3.1. Анализ реакционной схемы

3.2. Анализ модели процесса кристаллизации

4. Определение типа неподвижных точек для систем n -го порядка

5. Необходимый признак асимптотической устойчивости линейных систем

(критерий Раусса-Гурвица)

6. Детальный анализ типа неподвижной точки для системы 3-го порядка

7. Пример анализа реакционной схемы с использованием критерия Раусса-Гурвица

8. Качественная эквивалентность систем

 

Первый метод Ляпунова

Как определить, не решая систему уравнений, тип неподвижной точки и устойчива ли она? Для этого используют первый метод Ляпунова для определения типа устойчивости неподвижной точки.

Рассмотрим систему уравнений:

(8.1)

Решение системы уравнений (8.1) представим в виде:

(8.2)

Подставим (8.2) в исходную систему уравнений (8.1) и получим:

или после сокращения

(8.3)

В матричной форме запись уравнений (8.3) выглядит следующим образом:

(A - l Е) С = 0. (8.4)

Для того чтобы система (8.4) имела нетривиальные решения С ¹ 0, необходимо, чтобы

т. е.

(8.5)

Собственные числа l _i матрицы А определяют из условия (8.5). Раскрывая детерминант, получим квадратичное уравнение относительно l, называемое характеристическим:

(8.6)

Следовательно, исходная система (8.1) допускает решения:

По значению собственных чисел матрицы А можно определить тип точки и тип её устойчивости. Существуют три возможности поведения собственных чисел, соответствующих трём видам устойчивости неподвижных точек:

1) если l₁, l₂ имеют действительные отрицательные части, то неподвижная точка асимптотически устойчива;

2) если хотя бы один из корней l _i имеет положительную действительную часть, то неподвижная точка неустойчива;

3) если корни чисто мнимые или один из корней имеет нулевую действительную часть, а действительная часть другого – отрицательна, то неподвижная точка нейтрально устойчива.