После изучения всех таблиц умножения рассматриваются случаи умножения и деления с нулем.

Сначала вводится случай умножения нуля на любое число (0-5,0-2,0-7). Результат учащиеся находят сложением (0-2 = =0 + 0 = 0, 0-3 = 0 + 0 + 0 = 0). Решив ряд аналогичных примеров, ученики замечают, что при умножении нуля на любое число получается нуль. Этим правилом они в дальнейшем и руководствуются.

Если второй множитель равен нулю, то результат нельзя найти сложением, нельзя использовать и перестановку множителей, так как это новая область чисел, в которой переместительное свойство умножения не раскрывалось. Поэтому второе правило: «Произведение любого числа на нуль считают равным нулю»—учитель просто сообщает детям.

Затем оба эти правила применяются при выполнении различных упражнений на вычисления.

Деление нуля на любое число, не равное нулю (0:6), рассматривается на основе связи между компонентами и результатом деления. Ученики рассуждают так: чтобы 0 разделить на 6, надо найти число, при умножении которого на 6 получится 0. Это нуль, так как 0-6 = 0. Значит, 0:6 = 0. В результате решения ряда аналогичных примеров ученики замечают, что при делении нуля на любое число, не равное нулю, частное равно нулю. В дальнейшем учащиеся пользуются этим правилом.

Как известно, делить на нуль нельзя. Этот факт сообщается детям и поясняется на примере: нельзя 8 разделить на 0, так как нет такого числа, при умножении которого на нуль получится 8.

Необходимо чаще включать в тренировочные упражнения случаи умножения и деления с числами 0 и 1, сравнивая соответствующие приемы (5-0 и 5-1), чтобы предупредить их смешение.

 

 

19. Табличное умножение и деление изучается совместно, т. е. из каждого случая умножений Нилу чают соответствующие случаи деления; если 5-3=15, то 15:5 = 3 и 15:3 = 5. Основой для того служит знание учащимися связи между компонентами и результатом действия умножения.

Сначала рассматриваются все табличные случаи умножения и деления с числом 3, затем 4, 5 и т. д.

Табличные случаи умножения и деления с каждым числом изучаются примерно по одному плану.

Прежде всего составляется таблица умножения по постоянному первому или второму множителю. Если составить таблицу по постоянному первому множителю (3-3, 3-4, 3-5 и т. д.), то учащиеся легко будут находить результат последующего примера, пользуясь результатом предыдущего (3-5=3-44-3), но в этом случае будет в некоторых суммах много слагаемых (2-9— девять слагаемых). Если же составлять таблицу по постоянному второму множителю (3-3, 4-3, 5-3 и т. д.), слагаемых будет меньше. Эта таблица удобнее для запоминания наизусть, но зато здесь труднее находить результат: слагаемые каждого следующего примера другие (3-3 = 3 + 3 + 3, 4-3 = 4+4 + 4 и т. д.); чтобы найти результат следующего примера, пользуясь предыдущим, придется рассуждать так: 4-3 = 3-3 + 3, 5-3=4-3 + 3.

Учитель может выбрать любой из этих двух вариантов.

Как и при составлении таблицы умножения двух, для нахождения результата используют различные приемы: произведение заменяют суммой (3-4=3+3 + 3 + 3=12); к результату предыдущего примера из таблицы прибавляют соответствующее число: 3 умножить на 4, получится 12, а при умножении 3 на 5 получится на одну тройку больше и результат вычисляют так: 12 + 3=15; можно также из известного результата вычесть соответствующее число: ученики знают, что 8-10 = 80, а в произведении 8-9 будет на одну восьмерку меньше, значит, получим: 80 — 8 = 72; используют и перестановку множителей (3-5 = 5-3).

После того как составлена таблица по постоянному первому множителю, из каждого примера на умножение учащиеся составляют еще один пример на умножение (переставляют множители) и два примера на деление (на основе связи между компонентами и результатом умножения).

Полезно предложить ученикам рассмотреть все примеры первой таблицы и сказать, что интересного они заметили. Дети должны ответить, что первые множители одинаковые, вторые множители увеличиваются на единицу, а произведения на 4 единицы. Так же сравниваются примеры и других столбиков.

Таблицу умножения четырех надо выучить наизусть, чтобы каждый раз не вычислять результат. Обведите ее красным карандашом, а дома выпишите эту таблицу на отдельный листок.

Как уже отмечалось, аналогично проводится работа над другими таблицами. Число новых случаев в каждой следующей таблице уменьшается. Учащиеся от таблицы к таблице проявляют больше самостоятельности в их составлении. Они быстро замечают, что в каждой таблице умножения по постоянному первому множителю первым берется пример с одинаковыми множителями, что в каждом следующем примере на единицу больше второй множитель (2-3, 2-4). Все это помогает учащимся самим и составить очередной новый пример, и решить его. Уже при составлении таблицы умножения четырех или пяти можно предложить учащимся самим назвать первый, второй и т. д. примеры таблицы по порядку.

Заметим, что заучиваются наизусть только результаты умножения, соответствующие же случаи деления учащиеся должны уметь быстро находить, пользуясь таблицей умножения. Зная, например, что 7-8 = 56, они должны быстро решать примеры: 56:7 = 8 и 56:8 = 7. В процессе тренировки учащиеся должны твердо запомнить тройки чисел, например: 3, 7, 21; 9, 8, 72 и т. д.

Запоминание табличных результатов требует времени, поэтому учителю надо как во II, так и в III классе систематически проводить упражнения, направленные на запоминание таблицы умножения.

 

 

21. Деление с остатком. Деление с остатком изучается во II классе после завершения работы над внетабличными случаями умножения и деления. Здесь рассматриваются только такие случаи деления с остатком, которые сводятся к табличному делению.

Особенностью деления с остатком по сравнению с известными детям действиями является тот факт, что здесь по двум данным числам — делимому и делителю — находят два числа: частное и остаток.

В методике изучения деления с остатком следует предусмотреть такой порядок введения вопросов: сначала раскрыть конкретный смысл деления с остатком, затем установить отношение между остатком и делителем, далее ознакомить с приемом деления с остатком.

Конкретный смысл деления с остатком раскрывается при решении простых задач на деление по содержанию на равные части с помощью выполнения операций с предметами: ученики убеждаются, что не всегда можно выполнить разбиение данного множества на равночисленные подмножества и что в таких случаях операция разбиения связывается с действием деления с остатком.

Сначала решение задач дети выполняют практически: ответ на вопрос задачи они находят с помощью оперирования предметами, не выполняя действия деления. Например, предлагается разложить 11 кружков по 2 кружка и узнать, сколько раз но 2 кружка получится и сколько кружков останется; разложить 14 кружков на 4 равные части и узнать, сколько кружков н каждой из равных частей и сколько кружков осталось (рис. 24). Ученики отвечают на поставленные вопросы с помощью счета.

Затем выполняемые операции с предметами надо связывать с действием деления с остатком. Например, предлагается решить задачу: «16 карандашей разложили в 3 коробки поровну, сколько карандашей положили в каждую коробку и сколько

карандашей осталось?» Один ученик у доски, а остальные у себя на партах раскладывают 16 карандашей (палочек) на 3 равные части, затем выясняют, что получилось по 5 карандашей в коробке и еще остался 1 карандаш. Учитель говорит, что решение таких задач тоже выполняется делением, только здесь деление с остатком: 16 разделили на 3, получилось 5 и 1 в остатке.

Решение задачи записывается так: 16:3 = 5 (ост. 1).

Ответ: 5 карандашей и останется 1 карандаш.

Так же ведется работа по решению задач на деление по содержанию.

Далее раскрывается отношение между делителем и остатком, т. е. ученики устанавливают: если при делении получается остаток, то он всегда меньше делителя. Для этого сначала решаются примеры на деление последовательных чисел на 2, затем на 3 (4, 5), например:

10:2 = 5

11:2 = 5 (ост. 1) 12:2 = 6

13:2 = 6 (ост. 1) 14:2 = 7

Учащиеся сравнивают остаток с делителем и замечают, что при делении на 2 в остатке получается только число 1 и не может быть 2 (3, 4 и т. д.). Точно так же выясняется, что при делении на 3 остатком может быть число 1 или 2, при делении на 4—только числа 1, 2, 3 и т. д. Сравнив остаток и делитель, дети делают вывод, что остаток всегда меньше делителя.

Раскрывая общий прием деления с остатком, лучше брать примеры парами: один из них на деление без остатка, а другой на деление с остатком, но примеры должны иметь одинаковые делители и частные, например;

Выполняя деление с остатком, учащиеся иногда получают остаток больше делителя, например: 47:5 = 8 (ост. 7). Чтобы предупредить такие ошибки, полезно предлагать детям неверно решенные примеры, пусть они найдут ошибку, объяснят причину ее появления и решат пример правильно.

Навык деления с остатком вырабатывается в результате тренировки, поэтому надо больше включать примеров на деление с остатком как в устные упражнения, так и в письменные работы, при этом обращать внимание, что частное находят делением, а остаток вычитанием.

 

22. Устные приемы сложения и вычитания (для случаев 260± 120, 570±280 и др.), так же как и в пределах 100, опираются па свойства прибавления числа к сумме, суммы к числу, суммы к сумме, а также на соответствующие правила вычитания. Эти теоретические знания усвоены детьми при изучении действий в пределах 100, а здесь они закрепляются в процессе применения на новом числовом материале. Поэтому в методике изучения устных приемов сложения и вычитания в пределах 1000 много сходного с методикой работы над аналогичной темой в «Сотне». Так же, как и там, знание свойств действий дает возможность детям самим «открыть» вычислительные приемы, основанные на этих свойствах; сходные приемы вычислений изучаются одновременно в сопоставлении друг с другом, что помогает лучшему их усвоению; для выработки вычислительных навыков используются разнообразные упражнения, которые вместе с тем способствуют закреплению теоретических знаний. При изучении сложения и вычитания в пределах 1000 широко опираются на знания и умения детей, сформированные при изучении темы «Сотня», часто используют приемы сравнения и аналогии.

Устные приемы сложения и вычитания в пределах 1000 изучаются одновременно и рассматриваются в следующем порядке. На подготовительном этапе рассматриваются простейшие случаи, непосредственно связанные с применением знаний по нумерации вида: а) 700 + 40, 820+8, 948-40, 948-8; б) 789+1, 870-1, 699+1; в) 400 + 200, 800-500.

На первом этапе раскрываются случаи, где сложение выполняется на основе правила прибавления числа к сумме, а вычитание— на основе правила вычитания числа из суммы (360+200, 360 + 20, 560+40, 560-200, 380-20, 600-40). На втором этапе вводятся случаи, где сложение выполняется на основе правила прибавления суммы к числу, а вычитание — на основе правила вычитания суммы из числа (400+120, 430+120, 60+70, 460+170, 600-240, 460-130, 430-70, 430-170). Одновременное изучение случаев сложения и вычитания, сгруппированных по сходству вычислительных приемов, дает возможность сопоставить эти вычислительные приемы между собой, а также свойства, лежащие в их основе.

Рассмотрим методику изучения приемов.

Приемы сложения и вычитания, непосредственно связанные с применением знаний по нумерации, служат закреплению этих знаний и рассматриваются в основном при изучении нумерации. Случаи 400+200, 800 — 500 сводятся к действиям над разрядными числами (4 сот. + 2 сот. = 6 сот.; 8 сот,—5 сот. = 3 сот.). Такие вычисления закрепляют знания по нумерации и подготавливают детей к изучению более сложных случаев сложения и вычитания.

На первом этапе учащиеся сначала знакомятся с приемами сложения и вычитания вида: 540±300, 540+30. Прежде всего дети повторяют правила прибавления числа к сумме и вычитания числа из суммы, выполняя знакомые упражнения с двузначными числами. Например, выполнить вычисления удобным способом: (40 + 6)—30, (40+6)—4, объяснить приемы вычислений: 54 — 30, 54 — 3. Используя соответствующие наглядные пособия (например, квадраты — сотни и полоски — десятки), дети без особых затруднений догадываются, как решить эти примеры, и объясняют приемы вычислений:

540+300= (500+40) +300= (500 + 300) +40 = 840

Затем в сопоставлении с двумя предыдущими случаями аналогично рассматриваются случаи вычитания вида: 540—30 и 540-300.

Следует показать детям и другой прием сложения и вычитания, который сводится к сложению и вычитанию двузначных чисел, выражающих число десятков, например:

540+300

54 дес.+З дес. = 57 дес.

Использование этого приема подготавливает детей к изучению приемов умножения и деления в пределах 1000, а также письменных приемов этих действий над многозначными числами.

Отдельно останавливаются на случаях вида: 560+40,600—40. Прием сложения здесь не представляет ничего нового — сумма десятков составит сотню, которую надо прибавить к сотням. При вычитании же вида 600 — 40, 900 — 80 приходится заменять уменьшаемое суммой удобных слагаемых, выделяя одну сотню из общего числа сотен:

500-40= (400+ 100) -40 = 400+ (100-40) =460.

На втором этапе рассматриваются случаи сложения и вычитания, основанные на использовании правил прибавления суммы к числу и вычитания суммы из числа. Методика работы над ними аналогична методике, использованной на первом этапе:

430+210 = 430+ (200 + 10) = (430 + 200) + 10=640

Для случаев сложения и вычитания трехзначных чисел без перехода через разрядную единицу (вида: 430 + 210, 540—430) наряду с приемами последовательного прибавления и вычитания используются также приемы поразрядного сложения и вычитания:

430 + 210= (400 + 30) + (200+ 10) = (400 + 200) +(30+10) =640

Как видно, эти приемы опираются на правила сложения суммы с суммой и вычитания суммы из суммы, которые предварительно повторяют.

Приемы поразрядного сложения и вычитания служат подготовкой к изучению письменных приемов выполнения этих действий, поэтому им надо уделять больше внимания.

При сложении и вычитании с переходом через разрядную единицу второе слагаемое (вычитаемое) представляют в виде суммы таких удобных слагаемых, чтобы одно из них дополняло первое слагаемое до круглых сотен (чтобы при вычитании одного из них получались круглые сотни), например:

80 + 60 = 80+ (20 + 40) = (80 + 20) +40= 140

Здесь удобен также прием выполнения действий над десятками: 8 дес. + б дес., 14 дес.~6 дес., который надо показать детям.

В качестве подготовительных упражнений к сложению и вычитанию с переходом через разрядную единицу включают упражнения на дополнение данных чисел до ближайшего разрядного, например: дополнить до 100 числа 90, 70, 40, 10; дополнить до 300 числа 270, 250, 220 и т. п.

Аналогично рассматриваются случаи вида: 280 + 60, 340 — 60 и затем 280+160, 340—160. Учащиеся, пользуясь ранее усвоенными приемами, могут дать различные способы решения этих примеров.

Аналогичные способы учащиеся предлагают и при выполнении вычитания.

Раскрывая любой из приемов сложения и вычитания, рекомендуется решать примеры с подробной записью только при первичном знакомстве, затем довольно скоро следует переходить к кратким пояснениям и краткой записи решения и, наконец, к быстрым устным вычислениям без записи решения.

Для выработки навыков вычислений используют разнообразные письменные и устные упражнения: решение примеров в одно и более действий, нахождение числовых значений выражений при данных значениях букв, решение уравнений, сравнение выражений и запись числовых равенств и неравенств и др.

Применение знакомых детям свойств к новой области чисел позволяет значительно усилить самостоятельность работы учащихся при изучении нового материала. Это помогает также сформировать в короткое время осознанные вычислительные навыки и приступить к расширению знаний о свойствах действий. Учащиеся самостоятельно могут установить, как можно прибавлять число к сумме трех слагаемых и вычитать число из суммы трех слагаемых; как прибавлять сумму трех слагаемых к числу и вычитать сумму трех слагаемых из числа; как сложить сумму с суммой и вычесть сумму из суммы нескольких слагаемых. Работа над этими правилами подготавливает детей к изучению следующей темы.

 

23. Нумерация в пределах 1000 и арифметические действия выделяются в особый концентр по следующим причинам:

- здесь заканчивается изучение нумерации чисел первого класса, класса единиц (сотни, десятки, единицы), что является основой для изучения нумерации многозначных чисел;

- закрепляются знания устных и письменных приемов вычислений;

- вводятся устные приемы умножения и деления;

- далее продолжается решение составных задач с новыми величинами, изучение геометрического и алгебраического материала.

В результате изучения нумерации учащиеся должны:

- уметь читать и записывать трехзначные числа;

- понимать образование чисел из сотен, десятков, единиц;

- усвоить названия разрядных единиц, их соотношение и уметь представлять число как сумму разрядных слагаемых;

- уметь применять знание нумерации при устных вычислениях.

Методика изучения нумерации в пределах 1000 аналогична методике изучения нумерации в пределах 100. Разница только в том, что здесь добавляется еще один разряд - разряд сотен.

Перед изучением нумерации в пределах 1000 учитель посвящает один урок повторению всех видов упражнений по нумерации в пределах 100, работает по общей схеме разбора числа, повторяет все термины.

На следующем уроке учащиеся знакомятся с новой счетной единицей сотней. В практике часто используют палочки или пучки палочек, можно также использовать наглядное пособие "Квадраты и полоски", предложенные в свое время Н.С. Поповой. Оно изготовляется из плотной бумаги, единицы обозначаются квадратами (квадратный сантиметр), десятки - полосками, по 10 квадратов в каждой, а сотни - квадратами, по 10 полосок в каждом (квадратный дециметр). Такое пособие для индивидуального пользования можно изготовить с учащимися на уроках труда. Можно также использовать полоски с кругами (рис.88).

С помощью наглядных пособий учащиеся отсчитывают 10 десятков и заменяют их одной сотней, затем отсчитывают 10 сотен и заменяют их одной тысячей.

При хорошо развитом восприятии и воображении достаточным оказывается и рисунок учебника. При изучении письменной нумерации в абаке (рис.89) появляется еще один кармашек с надписью "Сотни". Продолжается работа по нумерационной таблице. Основные виды упражнений такие, какие указаны в общей схеме разбора числа.

Для закрепления нумерации в пределах 1000 вводятся величины: километр, килограмм, грамм и соотношения между ними.

 

24. Письменные приемы сложения и вычитания в пределах 1000 раскрываются вслед за устными приемами. Усвоение письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел является условием успешного применения их к числам любой величины. Сначала изучают письменные приемы сложения, а затем вычитания.

При сложении столбиком используется правило сложения суммы с суммой. Это правило повторяют перед тем, как ознакомить детей с письменным приемом сложения. Для этого решают примеры вида: (8 + 7)+ (2 + 3) или (20 + 4) и (10 + 6).

Учащиеся вспоминают, как можно по-разному вычислить результат. Затем правило применяется к сложению сумм нескольких слагаемых с числами в пределах 1000, например;

(300+40 + 5) + (200 + 20 + 4) = (300 + 200) + (40 + 20) + (5 + 4) =569

Решив несколько таких примеров, дети замечают, что удобнее складывать сотни с сотнями, десятки с десятками, единицы с единицами.

Такой подготовительной работы вполне достаточно, чтобы ввести общеизвестную запись письменного приема сложения столбиком. Учащиеся понимают целесообразность такой записи— сложение при этом выполняется быстро, так как промежуточные результаты записываются по мере их получения каждый на своем месте.

Письменное сложение изучается в таком порядке: 1) случаи, где сумма единиц и сумма десятков меньше 10; 2) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) равны 10; 3) случаи, где сумма единиц или сумма десятков (либо и та, и другая) больше 10.

Прежде всего решаются примеры на сложение без перехода через десяток: 232 + 347, 235+43. Учащиеся решают их сначала устно с подробной записью в строчку приема вычисления, затем учитель показывает запись этих примеров в столбик, поясняя: числа записывают так, чтобы единицы второго числа были под единицами первого, десятки под десятками, сотни под сотнями.

Дети упражняются в записи и объяснении решений примеров, запоминают, что сложение в столбик начинают с единиц.

При решении примеров вида 427+133, 363 + 245, 236 + 464 легко показать, почему письменное сложение следует начинать не с высших разрядов, как устное сложение, а с единиц I разряда: пусть дети решат один из примеров (457 + 243), начиная сложение с сотен — они сами убедятся в неудобстве такой последовательности вычисления, поскольку цифру сотен и десятков придется исправлять.

К 4 единицам прибавим 8 единиц, получится 12 единиц, или 1 десяток и 2 единицы. 2 единицы пишем под единицами, а один десяток прибавим к десяткам и т. д.

Постепенно надо перейти к краткому пояснению: 4 да 8 — двенадцать, 2 пишу, 1 запоминаю; 4 да 1 —'пять, да еще 1— шесть, 6 пишу; 5 и 2 — семь, всего 762. Подробного пояснения требуют от ученика, если он допустил ошибку.

На заключительных уроках изучения письменного сложения учащиеся знакомятся с формой записи и рассуждением при сложении нескольких слагаемых.

Помимо усвоения учащимися приема выполнения письменного сложения, на всех этапах изучения данной темы необходимо добиваться выработки навыка быстрых и правильных вычислений. С этой целью включают в достаточном количестве разнообразные упражнения: решение примеров, задач, уравнений и др.

Работа над письменными приемами вычитания строится аналогично. Сначала рассматривают правило вычитания суммы из суммы, а затем раскрывают прием письменного вычитания. Первыми вводятся самые легкие случаи вычитания вида: 563 — 321. Детям предлагается вычислить результат устно и выполнить подробную запись приема вычисления:

563-321 = (500 + 60 + 3) - (300 + 20+ 1) = (500-300) + (60-20) + (3- 1) =242

Они сами догадываются, что проще и быстрее найти результат, если записать пример столбиком, как при сложении.

На первых порах вычитание выполняется с подробным пояснением, затем вводятся краткие пояснения.

Далее рассматривают случаи вычитания чисел с нулями в середине или на конце (547 — 304, 547—340, 507 — 304). Перед их включением целесообразно повторить действия с нулем (5 + 0, 5-0, 0-0, 7*0-0, 0:9 + 0 и т. п.).

Следующими рассматриваются случаи вида: 540—126 и 603-281.

Затем вводятся примеры вида: 875 — 528, 628 — 365 и, наконец, примеры вида: 831—369. Во всех этих примерах приходится «занимать» (один или два раза) единицу соседнего высшего разряда. В качестве подготовительных упражнений полезно повторить табличные случаи вычитания и включить такие устные задания, как 1 дес. 6 ед, —7 ед., 1 сот. 5 дес, —8 дес. и т. п. Следует также повторить соотношение разрядных единиц и преобразование единиц высших разрядов в единицы соседних низших разрядов.

Наиболее трудным является решение примеров вида: 900—547, 906—547, 1000 — 456, которые рассматриваются в III классе. Затруднения здесь возникают в связи с тем, что преобразование одних разрядных единиц в другие приходится выполнять несколько раз (1000 — 456, так как единиц, десятков и сотен нет, берем 1 тысячу, раздробляем ее в сотни, получаем 10 сотен; из 10 сотен берем одну сотню — ставим точку и запоминаем, что осталось 9 сотен; 1 сотню раздробляем в десятки, получаем 10 десятков и т. д.). Можно еще раз обратиться к наглядным пособиям (квадратам или счетам) и показать, что 1 сотня —это 9 десятков и 10 единиц, 1 тысяча — это 9 сотен, 9 десятков и 10 единиц.

Для выработки вычислительных навыков на каждом этапе изучения вычитания необходимо давать достаточное количество упражнений тренировочного характера. В процессе выполнения этих упражнений рассуждения учащихся должны становиться более краткими, а вычисления выполняться быстрее.

Позднее включаются упражнения с равенствами, неравенствами, уравнениями, в которых приходится применять письменные вычисления.