ФОРМИРОВАНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

1. Рассмотрим теперь некоторые условия трансляции сложившейся деятельности по получению геометрических знаний. Часто недостаточно было получить некоторое геометрическое знание А на основе других геометрических знаний, нужно было также показать, как данное знание А получено.

Каким образом можно зафиксировать способ получения знаний в геометрии? В результате осуществления деятельности по получению геометрических знаний, описанной нами выше, остаются только чертеж и само полученное в цепи геометрическое знание. Следовательно, учащийся при овладении способом получения геометрических знаний может опираться только на чертеж. Опираясь на этот чертеж, он должен понять, какие требования реализовывались, какие знания привлекались в процессе получения знания А, на ка-

_____________

¹Когда мы ранее употребляли термин «неправильное» знание, мы фиксировали то понимание слова «неправильное», которое было у греческих математиков. Как мы старались здесь показать, неправильное знание становится неправильным только с точки зрения особого рассмотрения объекта когда под объектом понимается рисунок фигуры, а не рисунок с отнесенным к нему знанием). Только в этом случае одно из знаний может быть признано неправильным, причем ярлык неправильного получит то знание, которое вносит разлад в группу уже полученных ранее знаний.

­ Конец страницы 295 ­

¯ Начало страницы 296 ¯

кие фигуры разлагался чертеж, в какой последовательности привлекались знация и осуществлялось разложение чертежа, какие знания о равенстве и неравенстве получились из чертежа, какие знания относились к чертежу, как и в какой последовательности осуществлялось движение в знаниях. Ясно, что без дополнительных знаковых средств учащийся не мог восстановить эти элементы. Поэтому постепенно должны были складываться средства, позволяющие учащемуся все же понять, как осуществлялся процесс получения геометрического знания.

Поскольку с точки зрения объектных представлений геометра деятельность по получению геометрических знаний сводится к преобразованию объектов-чертеж ей, указанные средства должны были складываться главным образом на основе описаний различных движений в чертежах (построение чертежей, разложение одного чертеж а-фигуры на другие чертежи-фигуры или на их элементы). Анализ эмпирического материала позволяет предположить, что описания движения в чертежах в своем формировании прошли два этапа. На первом этапе движения в чертеже описывались в терминах пространственных движений («верх», «низ», «справа», «слева»). На втором этапе для описания движения в чертеже использовались символы (для описания движения в чертежах был введен специальный язык).

Рассмотрим, например, как могло строиться на первом этапе описание движения в чертеже в процессе получения знания А: «У равнобедренного треугольника углы при осно-

 

 

вании равны». Для получения знания Л в чертеже были осуществлены следующие движения- а) проведена линия из вершины треугольника через середину основания, б) полученный чертеж раскладывается на чертеж двух треугольников, в) полученные два треугольника раскладывались на элементы (стороны, углы).

­ Конец страницы 296 ­

¯ Начало страницы 297 ¯

Поскольку в распоряжений геометров того времени- были сложившиеся ранее (в вавилонской и египетской математике) термины фигур и действий с ними, а также термины, обозначающие пространственные движения, описание движения в чертеже при получении знания А должно было выглядеть примерно так: «Треугольник. Проведем линию из верха треугольника вниз через середину нижней стороны треугольника (или через середину той стороны треугольника, на которой треугольник стоит). В результате внутри данного треугольника получилось два новых треугольника: слева и справа. Левый нижний угол левого треугольника есть левый нижний угол большого треугольника, а правый угол правого треугольника является правым нижним углом большого треугольника. Левая сторона левого треугольника является левой стороной большого треугольника, правая сторона правого треугольника является правой стороной большого треугольника. Правая сторона левого треугольника совпадает с левой стороной правого треугольника».

Если нужно было сообщить о том, какие знания о равенстве или неравенстве были отнесены к чертежу или получены из чертежа, то описание должно было строиться аналогично: «Левая сторона левого треугольника равна правой стороне правого треугольника. Левая сторона правого треугольника равна правой стороне левого треугольника. Отрезки линии, на которой треугольник стоит, равны» и т. п. Понятно, что если чертеж был немного сложнее, то двигаться в таком описании было не только трудно, но часто просто невозможно. Следовательно, должна была возникнуть ситуация разрыва, обусловленная особенностями понимания.

Анализ механизмов развития знаковых средств показывает, что подобные ситуации преодолеваются в результате замещения одних знаковых средств другими, одних действий со знаками другими. Рассмотрение эмпирического материала позволяет утверждать, что в указанной ситуации разрыва пространственные термины, которые показывали положение внутри исходного чертежа-фигуры других чертежей-фигур или их элементов, были заменены буквами, проставленными разных частях чертежа¹. Так, например, если поставить

__________

¹Анализ истории философии и математики показывает, что впераые буквы в качестве особых обозначений, используемых для фиксации геометрических объектов, появляются в логических работах Аристотеля (возможно, Платона), в которых анализируются рассуждения и объекты геометрии

­ Конец страницы 297 ­

¯ Начало страницы 298 ¯

у чертежа треугольника четыре буквы А, В, С, D, то, вместо того, чтобы говорить «левый и правый треугольник», боль-

 

шой треугольник», можно сказать «треугольник, вокруг которого стоят буквы ABD (или просто треугольник ABD), «треугольник, вокруг которого стоят буквы BCD (треугольник BCD)», «треугольник ABC», «угол, около которого стоит буква А {угол А)».

Вместо того, чтобы говорить «проведем линию из верха треугольника вниз через середину нижней линии», можно сказать: «проведем линию из угла В через середину линии АС» или: «проведем линию из угла В через линию АС в том месте, где стоит буква D» (позднее само место на линии, через которое проходила другая линия, стали называть точкой — «точкой D»). Введение букв позволило легко описывать и другие составляющие процесса получения знаний: движение в знаниях, отнесение знаний к чертежам, получение знаний из чертежей. Таким образом, сформировалось сложное описание, включавшее в себя чертеж с буквами, геометрические термины с буквами и без букв, полученные ранее геометрические знания. Например, описание процесса получения знания А теперь выглядело так: «Треугольник ABC. Проведем из точки В линию BD через середину основания АС. Треугольник ABD равен треугольнику DBC». Если возникал вопрос почему, то отвечали так: «У этих треугольников сторона BD общая, сторона АВ равна стороне ВС, сторона AD равна стороне DC, т. е. три стороны треугольника ABD равны трем сторонам треугольника BDC, и поэтому треугольник ABD равен треугольнику BDC, поскольку известно, что любые треугольники с тремя равными сторонами равны. Так как треугольники ABD и BDC равны, углы А и С этих треугольников равны. Но углы А и С — это углы треуголь-

­ Конец страницы 298 ­

¯ Начало страницы 299 ¯

ника ABC, следовательно у треугольника ABC углы при основании равны». Имея такое описание, учащийся, знакомый с разложением чертежей, геометрическими терминами, способом выделения чертежей-фигур по буквам, понимающий смысл терминов «равно», «больше», «меньше», уже мог восстановить тот процесс, с помощью которого было получено знание А.

Заметим, что не все части указанного описания сложились только как описания движений в чертежах и знаниях; можно предположить, что некоторые части были введены для объяснения и отвечали на вопрос почему. Например, выражение «у треугольника ABD и BDC равны три стороны, и поэтому эти треугольники равны, поскольку известно, что любые треугольники с тремя равными сторонами равны» отвечало на вопрос почему, если у треугольников стороны равны, говорят, что такие треугольники равны.

2. Сложившиеся описания должны были иметь самые разные размеры. Одни быть небольшими в несколько строк, а другие (последних должно быть большинство) очень длинными и громоздкими. «Длина» описания определялась местом, которое занимало в цепи знаний знание, получение которого было этим описанием зафиксировано. Так, если знание А 2 занимало второе место в цепи знаний:

 

 

то описание, фиксирующее его получение, было коротким, поскольку при получении этого знания использовалось всего одно знание А_І, и, следовательно, преобразование чертежа АІ2 было не сложным. Если же нужно было построить описание, фиксирующее полученное знание An, то в это описание должны были войти как составляющие описания, фиксирующие получение всех n—1 знаний в цепи. Действительно, нельзя было построить описание, фиксирующее получение знания An, исходя из того, что все предыдущие n—1 знания в цепи уже получены (эти n—1 знания цепи были получены для учителя, но не для ученика). Для ученика получение n-го знания означало получение знаний всей цепи. Он должен был считать, что если получаются одни знания, то, очевидно, должны быть получены и другие знания, на основе которых получаются первые знания. К такой мысли учащихся должна была привести сама практика обучения: сначала получалось знание А₂, затем на основе знания А₂ получалось знание А₃, на основе

­ Конец страницы 299 ­

¯ Начало страницы 300 ¯

знаний A₂ и А₃ получалось знание А₄ и т д. Учащийся должен был привыкнуть к мысли, что любое знание в цепи каждый раз должно быть получено из других знаний, которые тоже должны быть получены — все знания должны быть получены. Но это и означает, что получение знания An должно было для учащегося предшествовать получение и всех тек n— 1 знаний, на основе которых знание An было получено. Описание, фиксирующее получение знания An, фиксировало одновременно получение n—1 предшествующих в цепи знаний. Поэтому уже описания, фиксирующие получение третьего, четвертого и т. д. знания в цепи, были длинны и громоздки; разобраться в таких описаниях было очень трудно.

В связи с этим можно предположить, что длинные описания и процессы получения знаний стали разбиваться на отдельные части. «Длина» каждой части должна была браться такой, чтобы описание, составляющее каждую такую часть, было простым и ясным. В результате описания, фиксирующие получение каждого последующего знания в цепи, должны было включать, во-первых, части, образующие описания, фиксирующие получение всех предыдущих знаний в цепи, и, во-вторых, части, образующие новые, не полученные прежде описания. Следовательно, каждое последующее описание должно было включать все предыдущие; каждый последующий процесс получения знаний должен включать все предыдущие процессы получения знаний. Поэтому можно предположить, что во всех последующих описаниях стали опускать все части, которые были в предыдущих описаниях.

Для того, чтобы учащийся смог понять оставшиеся, не опущенные части последующих описаний, его должны были отсылать к описаниям, фиксирующим получение предыдущих знаний. Поскольку в каждом предыдущем описании, кроме первого описания, тоже были опущены повторяющиеся раньше части, учащемуся приходилось начинать с описания, фиксирующего получение первого в цепи знания. Получение первого в цепи знания могло быть понято уже само по себе, так как в нем не были опущены никакие части. Однако ответить на вопрос, почему при получении первого в цепи знания имеют место такие-то знания, на основе которых получалось первое знание, учитель не мог. Например, при получении первого в цепи знания А_І — «треугольники равны, если у них равны по два угла и одной стороне»— использовалось знание Aо—«прямые углы равны». У учащегося возникал вопрос: «Откуда известно, что прямые углы равны?» Этот вопрос

­ Конец страницы 300 ­

¯ Начало страницы 301 ¯

вставал естественно, поскольку все другие знания получались, а не полагались как готовые. Учащийся ожидал, что я здесь ему покажут получение знания А₁. Однако оказывалось, что знание ао считалось известным (истинным), я учащемуся предлагали в это поверить. Таким образом, все знания для учащегося (так же, впрочем, как и для учителя) разбивались на две группы. В первую группу входили знания них было небольшое число), которые считались известными; вo вторую —все остальные знания, которые получались на остове знаний первой группы.

После разбора описания, фиксирующего получение первого в цепи знания, учащийся мог уже понять описание, фиксирующее получение второго в цепи знания (во втором описании были опущены как раз те части, которые учащийся усвоил в первом описании). После овладения вторым описанием учащийся мог понять (овладеть) и третьим описанием, фиксирующим получение третьего знания в цепи (в этом описании были опущены части, которые учащийся усвоил в первом и во втором описании) Овладев описанием, фиксирующим получение третьего знания в цепи, учащийся смог овладеть описанием, фиксирующим получение четвертого знания в цепи и т. д. Таким образом, все процессы получения знаний были за счет описаний усреднены, сделаны компактными и простыми: все процессы получения знаний были зафиксированы в коротких и компактных описаниях. Каждое такое описание заканчивалось получением определенного знания в цепи, используемого в описаниях, которые фиксируют получение последующих в цепи знаний. Именно из полученных таким образом процессов и их описаний складывается то, что сейчас называется доказательством теорем¹.