Студопедия — Интегрирование тригонометрических функций
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интегрирование тригонометрических функций






Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций.

2.7.1 Интегралы вида

Для нахождения таких интегралов используют следующие приемы.

а) Если хотя бы одно из чисел и – нечетное целое положительное число, пусть, например , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют так:

В итоге получается

то есть получен интеграл от степенной функции.

Пример 27. Найти интеграл .

Решение.

– нечетная степень, используем подстановку

б) Если , то делают подстановку , тогда . Выражение под знаком интеграла преобразуют аналогично предыдущему случаю:

Пример 28. Найти интеграл .

Решение.

– нечетная степень, используем подстановку

а) , – целые неотрицательные четные числа. В этом случае используют формулы понижения степени

, , .

Пример 29. Найти интеграл .

Решение.

– четные положительные целые числа, используем формулы понижения степени

В первом интеграле у функции степень четная, используем формулы понижения степени . Во втором интеграле используем метод подведения под знак дифференциала:

б) – четное отрицательное целое число, тогда используют подстановку , а . При данной подстановке

, , , .

В некоторых случаях удобнее сделать подстановку

, .

 

Пример 30. Найти интеграл .

Решение.

– четное отрицательное целое число. Используем подстановку ,

.

2.7.2 Интегралы вида и , где , – рациональные функции

В первом случае делают подстановку , . Во втором – , а , тогда .

Пример 31. Найти интеграл .

Решение.

, тогда

Получим интеграл от рациональной функции

2.7.3 Интегралы вида

Здесь – рациональная функция от синуса и косинуса. Для нахождения данного интеграла используют универсальную тригонометрическую подстановку: , тогда , , , .

В результате данной подстановки получают интеграл от рациональной функции от переменной :

.

Данную подстановку рекомендуется применять, если и входят в функцию в нечетной степени.

Пример 32. Найти интеграл .

Решение. Применяя подстановку , получим

В знаменателе выделим полный квадрат:

.

На практике универсальная подстановка иногда приводит к слишком сложным рациональным функциям, поэтому, если функция четная относительно синуса и косинуса, то удобнее применить подстановку , , , , .

Пример 33. Найти интеграл .

Решение. Функция является четной относительно синуса и косинуса, то есть

Применим подстановку , получим

В знаменателе выделим полный квадрат:

2.7.4 Интегралы вида

В данном случае применяют подстановку , , .

Пример 34. Найти интеграл .

Решение. Применим к данному интегралу подстановку , получим . Под знаком интеграла имеем неправильную рациональную дробь . Выделим целую часть путем деления числителя на знаменатель:

Подынтегральную функцию можно представить в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби , а данный интеграл в виде суммы трех интегралов:

2.7.5 Интегралы вида , ,

Подынтегральные функции в данных интегралах преобразуются с помощью тригонометрических формул:

, (7)

, (8)

. (9)

Пример 35. Найти интеграл .

Решение. Применим к подынтегральной функции формулу (9), получим







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 1139. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

Типовые ситуационные задачи. Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической   Задача 1. Больной К., 38 лет, шахтер по профессии, во время планового медицинского осмотра предъявил жалобы на появление одышки при значительной физической нагрузке. Из медицинской книжки установлено, что он страдает врожденным пороком сердца....

Типовые ситуационные задачи. Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт Задача 1.У больного А., 20 лет, с детства отмечается повышенное АД, уровень которого в настоящее время составляет 180-200/110-120 мм рт. ст. Влияние психоэмоциональных факторов отсутствует. Колебаний АД практически нет. Головной боли нет. Нормализовать...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия