Интегрирование подстановкойПусть надо вычислить определенный интеграл где - непрерывная на функция, а первообразной для нее нет в таблице простейших интегралов. Тогда произведем замену переменной, а именно, введем новую переменную таким образом: , где - непрерывно дифференцируема на функция. Если при этом будут выполняться такие условия: 1) при изменении от до переменная изменяется от до , то есть . (8.24) 2) сложная функция определена и непрерывна на отрезке , то справедлива такая формула (8.25) Формула (8.25) и выражает собою суть метода подстановки. Замечание. При вычислении определенного интеграла с помощью замены переменной нет необходимости возвращаться к старой переменной (как это нужно было делать при вычислении неопределенного интеграла) достаточно лишь учесть границы интегрирования соответственно (8.24). Пример 8.3. Вычислить Решение Введем новую переменную . Тогда . Вычислим границы интегрирования и результат представим в виде табл. 1. Таблица 1
из которой видно, что при , а при . Итак, после введении новой переменной получим
Пример 4. Вычислить . Решение. Произведем замену переменной: . Тогда , а границы интегрирования приобретают значения: при при Итак, получаем
Таким образом, видим, что различие в применении метода замены переменной в неопределенном и определенном интеграле состоит в том, что в втором случае не надо возвращаться к старой переменной, поскольку при замене переменной изменяются также и границы интегрирования.
|