рос | укр
Головна сторінка
Випадкова сторінка
КАТЕГОРІЇ:
АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія
|
Визначений інтеграл
Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 639
Для розгляду визначеного інтегралу, необхідно розглянути дві типові задачі, які приводять до цього поняття: обчислення площі криволінійної трапеції та роботи змінної сили.
У курсі математики середньої школи детально розглядається площа многокутника. Криволінійна трапеція – це фігура, яка в загальному випадку відмінна від многокутника. Тому треба дати визначення площі такої фігури, показати, що площа криволінійної трапеції за таким означенням існує, а потім розглянути спосіб обчислення цієї площі. Нехай маємо криволінійну трапецію (мал. 5), яка зверху обмежена графіком неперервної функції y = f(x), заданої на відрізку [a; b]. Розіб’ємо відрізок [a;b] (основу трапеції на n довільних частин за допомогою точок x0, х1,...хk, хk+1... хn так, щоб справджувалися нерівності a = x0 < х1<х2<... < xk <хk+1 <...< х n = b.
      
Мал. 5
Через кожну точку поділу проведемо прямі, паралельні осі 0у, до перетину з графіком функції f(x). Тоді криволінійна трапеція розіб’ється на n частинних криволінійних трапецій. Розглянемо одну із таких трапецій, наприклад ту, в основі якої лежить відрізок [–xk, х k+1]. Оскільки функція f(x) є неперервною на відрізку [a;b], то вона є неперервною і на кожному частинному відрізку, зокрема, на відрізку [–xk, х k+1]. Внутрі кожного відрізка виберемо деяку точку: внутрі відрізка х0, х1(х1) – точку k1 : х0 k1 x1 внутрі відрізка х1 х2(х2) – точку k2 : х1 k2 x2 і т.д., внутрі відрізка хk+1xk(xk) – точку k1+1:хk k+1 xk і т.д. Складемо добутки f(k1) x1, f(k2) x2... Кожний такий добуток рівний площі прямокутника, основою якого є відрізок  х1, х2, а висота – значення функції f(x) в будь-якій точці відповідного відрізку. Сума таких добутків  дорівнює площі всіх прямокутників, частина із них показана на малюнку. Символ  означає, що проводиться додавання всіх членів f(kі) xi, де i приймає значення 1, 2, 3, ..., n. Якщо кожний із відрізків достатньо малий, т.б. х1  0, х2 0 і т.д., то затушована область на малюнку приближається до площі криволінійної трапеції, дорівнює:
S =  .
Таким чином, задача про обчислення площі криволінійної трапеції приводить до визначення границі суми.
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | <== 14 ==> | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 | |