Приклади

Дата добавления: 2014-10-22; просмотров: 624

Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння:

1. y¢¢³ – 2y¢¢– x = 0.

Розв’язок:це рівняння допускає розв’язання відносно х: х = y¢¢³–2y¢¢. Введемо підстановку y¢¢ = t. Тоді x = t³ – 2t. Скористаємося співвідношенням:

Дістаємо .Отже, загальний розв’язок у параметричній формі має вигляд:

x = t³ – 2t.

у = .

2. Знайти загальний розв’язок диференціального рівняння 2ху¢¢=y¢.

Розв’язок: застосовуємо підстановку Z = y¢. Тоді рівняння набирає вигляду: 2xZ¢ = Z. Дістали рівняння першого порядку, яке допускає відокремлювання змінних . Звідси знаходимо , або Z = C₁ , де С₁ – стала інтегрування. Підставимо у рівність значення Z = y¢. Матимемо диференціальне рівняння першого порядку y¢ = C_{1 .} Загальний розв’язок цього рівняння є:

.

Дана функція і є зальним розв’язком диференціального рівняння.

3.Знайти рівняння кривої , яка проходить через точку (1; 2), якщо .

Розв’язок:інтегруємо диференціальне рівняння . Якщо маємо:

. dz = 6x²dx; , z = 2x³ + C_1, або . Інтегруємо це рівняння, знаходимо, що у = . Підставимо: х = 1, у = 2, одержимо: 3 = 2 + С_I, С_I = 1.

2 = . С_{I +} С₂= 1 , С₂ = . Рівняння кривої: .