Задача 3

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 558

Розрахунок вхідних та вихідних матеріальних потоків. Підприємство випускає три види виробу, використовуючи три види ресурсів.

Таблиця 1.

1. Визначити вхідні і вихідні матеріальні потоки і побудувати логістичну систему виробництва.

2. Знайти оптимальні потоки, що максимізували об'єм виробництва у вартісному виразі (цільова функція L₁).

3. Провести економічний аналіз оптимального процесу по останній симплекс-таблиці.

4. Знайти умову стійкості структури оптимального рішення по відношенню до змін ресурсних вхідних потоків.

5. Визначити оптимальні потоки продукції, що мінімізують витрати виробництва при додатковій умові випуску продукції не менше 35 % від максимально можливого (L₁ max).

Приклад розв’язання завдання:

Підприємство випускає три види виробу, використовуючи три види ресурсів.

Таблиця 2.

1. Визначити вхідні і вихідні матеріальні потоки і побудувати логістичну систему виробництва.

2. Знайти оптимальні потоки, що максимізували об'єм виробництва у вартісному виразі (цільова функція L₁).

3. Провести економічний аналіз оптимального процесу по останній симплекс-таблиці.

4. Знайти умову стійкості структури оптимального рішення по відношенню до змін ресурсних вхідних потоків.

5. Визначити оптимальні потоки продукції, що мінімізують витрати виробництва при додатковій умові випуску продукції не менше 45 % від максимально можливого (L₁ max).

1. Підприємством використовується три види ресурсів: матеріали, трудові ресурси і устаткування (вхідні потоки) і воно може проводити три види виробів (потоки, що виходять) (рис.1).

Рис.1 Структура виробничої логістичної системи.

2. Математична модель процесу виробництва для даної умови виглядає таким чином:

L₁ (х) max = 30x₁+ 40x₂ + 70x₃.

	{
		4x1+ 3x2 + 5x3 1800 , 3x1+ 5x2 + 6x3 2100 , x1+ 6x2 + 5x3 2400 ; x1, x2, x3 > 0.

Р1 матеріали

Р2 трудові

Р3 устаткування

Вводимо додаткові змінні х4, х5, х6 і переходимо до канонічного вигляду:

L1 (х) max = 30x₁+ 40x₂ + 70x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆.

3x₁+ 5x₂ + 6x₃ +x₅ = 2100 ;

x₁ + 6x₂ + 5x₃ + x₆ = 2400 .

х₄, х₅, х₆ - є залишками відповідних ресурсів, що виникли в процесі виробництва продукції.

Для вирішення даної задачі необхідно використовувати метод симплекс-таблиць, який допоможе в знаходженні оптимального рішення.

Перше опорне рішення:

х₁= х₂= х₃ =0;

х₄= 1800 грош.од., х₅= 2100 люд.дн., х₆= 2400 станко-година.

Економічне значення: підприємство нічого не випускає, всі початкові ресурси знаходяться на складі.

Таблиця 3.

Знаходження оптимального рішення

В останній симплекс таблиці все к>0, значить дане рішення є оптимальним. Відповідь математичної моделі рішення даної задачі наступна:

X₁ = 0, X₂ = 0, X₃ = 350, X₄ = 50, X₅ = 0, X₆ = 650

Економічне значення рішення задачі наступне:

· Оскільки X₁=0, X₂=0, це значить, що данні види виробів підприємство не випускає, а виріб П₃ підприємство випускає в кількості 350 шт. (Х₃=350 шт.);

· X₅ = 0 - залишку трудових ресурсів немає, тому цей ресурс є дефіцитними;

· Х₄ = 50 - остаток першого ресурсу Р₁ рівний 50 грошових одиниць;

· залишок третього ресурсу Р₃ складає 650 станко/годин (Х₆ = 650), тобто устаткування не використовується повністю.

При даній виробничій програмі підприємство одержить наступний дохід від реалізації своєї продукції:

30*0+ 40*0 + 70*350 = 24500 грош. од.

Виходячи з теорії подвійності, якщо задача лінійного програмування (ЗЛП) має оптимальне рішення, то і подвійна задача має оптимальне рішення, де значення цільових функцій в цих рішеннях співпадають.

Складемо подвійну задачу:

Т(у) min= 1800у₁ + 2100у₂ + 2400у₃ ;

4у₁ + 3 у₂ +у₃ 30

3у₁ + 5 у₂ +6у₃ 40

5у₁ + 6 у₂ +5у₃ 70, y₁, y₂, y₃>0.

Т*(у)= 1800у₁ + 2100у₂ + 2400у₃ + 0y₄ + 0y₅ + 0y₆;

4у₁ + 3 у₂ + у₃ - y₄ = 30

3у₁ + 5 у₂ + 6у₃ - y₅ = 40

5у₁ + 6 у₂ + 5у₃ -y₆ = 70 .

В таблиці 1 знаходитися оптимальне рішення подвійної задачі і виходячи з цього відповідь наступний:

у₁ =0,у₂=11,66, у₃=0, у₄=5, у₅= 18,3, у₆= 0.

1800*0 + 2100*11,66+ 2400*0 24500.

Основні змінні задачі характеризують оцінки ресурсів, тобто економічне значення теорії подвійності наступне: «які мінімальні ціни необхідно призначити на дефіцитні ресурси, щоб вартість їх була не менше ніж виручка від реалізації продукції підприємства».

Встановимо відповідності між змінними початкової і подвійної задачами.

Таблиця 4.

3. Економічне значення останньої симплекс - таблиці.

В даній задачі лінійного програмування основними змінними симплекс-таблиці є змінні Х₁, Х₂, Х₃(продукція), додатковими Х₄, Х₅, Х₆ (ресурси).

Крім того, базисні змінні - Х₄, Х₃, Х₆, небазисні Х₁, Х₂, Х₅.

· При закупівлі одиниці другого ресурсу Р₂ залишок Р₁ зменшиться на 0,83 гр.од., виробництво П₃ збільшиться на 0,166 шт., а залишок третього ресурсу Р₃ знизиться на 0,17 станко/годин. Аналіз основної подвійної змінної (при закупівлі другого ресурсу) показав, що в грошовому виразі вона склала: 70*0,166 = 11,66 гр.од.

· Аналіз основних небазисних змінних (не вигідно випускати х₁,х₂) показав, що якщо випускати одну одиницю виробу П₁, то залишок Р₁ зменшитися на 1,5 гр.од., виробництво третього виробу П₃ зменшиться на 0,5шт., а експлуатація устаткування збільшиться на 1,5 станко/годин. При цьому збиток від цієї операції складе в грошовому виразі: 70 * 0,5= 35 гр.од. абсолютний збиток : 35-30=5 гр.од. (=у₁); якщо ж випускати одну одиницю виробу П₂, то в цьому випадку залишок першого ресурсу Р₁ збільшиться на 1,17 гр.од., випуск виробу П₃ зменшиться на 0,833 шт., а при використовуванні устаткування зменшиться на 1,83 станко/час. При цьому збиток складе 70 * 0,833 = 58,3 гр.од., абсолютний збиток: 58,3 - 40 = 18,3 гр.од. (=у₂).

4. Внутрішньовиробнича логістична система повинна гнучко реагувати на зміну вхідних потоків і цін за одиницю продукції, що випускається, при якій можна використовувати одержані оптимальні рішення даної задачі.

а) Зміна вхідних ресурсних потоків:

D в₁ - зміна запасу матеріалу (грош. од.)

D в₂ - зміна кількості трудових ресурсів (людино/годин)

D в₃ - зміна фундації робітника часу устаткування (станко/годин).

х₆

Нове значення змінних, увійшли до оптимального рішення задачі в базис х_3*, х_4*, х_6*, можна розрахувати як результат перемножування матриць.

	[				[		]
				1800 + в1 2100 + в2 2400 + в3

х_6*= 0(1800 + в₁)+ (-0,833)(2100 + в₂)+ 1(2400 + в₃) 0

Хай в₂ 0, в₁ та в₃ = 0, тобто змінюється кількість трудових ресурсів.

х_4*= 1800 - 0,833 в₂ - 1743 0

х_3*= 0 + 0,166 в₂ + 0 0

х_6*= 0 - 0,833 в₂ - 357 + 2400 0

Виразимо в₂ і знайдемо рішення нерівностей.

0,166 в2 + 348,6 0

- 0,833 в2 + 2051,4 0

-2100 68,67 780.3

-2100 < в₂ < 68.87,

запас дефіцитного ресурсу Р₂ змінюється в знайденому інтервалі. Якщо цей запас буде зміняться в цьому інтервалі, то асортимент продукції, що випускається, і виручка від реалізації теж мінятимуться.

Хай в₁ 0, в₂ та в₃ = 0, тобто змінюється запас матеріалів, то підставивши значення в систему 1 одержимо наступне:

	{
			х4*= в1 +50 0, х3*= 348,6 0, х6*= 650 0,

Рішенням нерівності буде наступне: в₁ > - 50. Якщо запас недефіцитного ресурсу Р1 знижуватиметься не більше, ніж на 50 гр.од., то в оптимальному плані змінюється тільки невикористаний залишок першого ресурсу.

Хай в₃ 0, в₂ і в₁ = 0, тобто змінюється третій ресурс, то підставивши значення в початкову систему 1 одержимо наступне:

х4*= 50 0, х3*= 348,6 0 , х6*= в3 + 650 0

х_3*= 0 + 348,6 0

х_6*= в₃ - 1750 + 2400 0

Рішенням нерівності буде наступне: в₃ > - 650. Якщо запас недефіцитного ресурсу Р₃ знижуватиметься не більше, ніж на 650 станко-годин, то в оптимальному плані змінюється тільки невикористаний залишок третього ресурсу.

б) Зміна цін за одиницю продукції, що випускається (коефіцієнтів цільової функції С).

Хай С змінюється на С_*, то одержимо наступну систему:

2 = (0 + С₄)(-1,17) + (70 + С₃)0,833 + 1,833(0 + С₆) - (40 + С₂) 0

5 = (0 + С₄)(-0,833) + (70 + С₃)0,166 + (- 0,833)(0 + С₆) - (0 + С₅) 0

		1 = 5 - С1 0, 2 = 18,31 0 5 = 11,62 0,
		Þ

Рішенням даної нерівності буде С₁ < 5. При ціні 4,9 гр.од. продукцію П₁ виробляти не вигідно, при зменшенні ціни П₁ цю продукцію також не вигідно виробляти, але збільшити ціну можна не більш, ніж на 5 гр.од. При цьому оптимальний план не зміниться.

1 = 5 0, 2 = 18,31 + С2 0 5 = 11,62 0,

1 = 35-30 0, 2 = 58,31 - 40 + С2 0 5 = 11,62 0,

Рішенням даної нерівності буде С₂ < 18,31. При ціні 18 гр.од. продукцію П₂ виробляти не вигідно, при зменшенні ціни П₂ цю продукцію також не вигідно виробляти, але збільшити ціну можна не більш, ніж на 18,31 гр.од. При цьому оптимальний план не зміниться.

Хай С₃ 0, а С₁= С₂= С₄= С₅= С₆=0, то одержимо:

С3 -10, С3 -21.98 C3 -69,75,

1 = 35-30 + 0,5 С3 0, 2 = 58,31 - 40 + 0,833 С3 0 5 = 11,62 + 0,166 С3 0,

-69.75 -21.98 -10

Рішенням даної нерівності буде С₃ від -10 до + . При зміні ціни на продукцію П₃ в даному інтервалі, асортимент і об'єми випуску продукції не міняються, а виручка від реалізації стане іншою.

5. В умовах конкуренції задача, що стоїть перед підприємством, міняється, при цьому можна використовувати наступну оптимальну модель. Умовою цієї задачі буде визначення економічного результату, при якому витрати на виробництво повинні бути мінімальні (норми витрати на виробництва одного виробу).

Числова модель в даному випадку буде наступна:

	4x1+ 3x2 + 5x3 1800 , 3x1+ 5x2 + 6x3 2100 , x1+ 6x2 + 5x3 2400 ; 21 x1 + 30 x2 + 56 x3 11025 (45% от L1 max).

x₁, x₂, x₃ > 0

Приведемо до канонічного вигляду дану систему:

L₂ (x) min = 21 x₁ + 30 x₂ + 56 x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇

4x₁ + 3x₂ + 5x₃ + x₄= 1800

3x₁ + 5x₂ + 6x₃ + x₅= 2100

x₁ + 6x₂ + 5x₃ + x₆ = 2400 ;

21x₁ + 30 x₂ + 56 x₃ - x₇= 11025.

x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇> 0

Оскільки х₇ не є базисною (перед змінною стоїть коефіцієнт -1), то для вирішення даної задачі використовуємо метод штучного базису. Для цього в четверте обмеження введемо ненегативну штучну змінну х_8', яка в цільовій функції записується з коефіцієнтом М.

L₂ (x) min = 21 x₁ + 30 x₂ + 56 x₃ + 0x₄ + 0x₅ + 0x₆ + 0x₇ + Мх_8'

Одержимо розширену задачу:

4x₁+ 3x₂ + 5x₃ + x₄ = 1800;

3x₁+ 5x₂ + 6x₃ + x₅ = 2100;

x₁+ 6x₂ + 5x₃ + x₆ = 2400;

21 x₁ + 30x₂ + 56 x₃ - x₇ + х_8' = 11025.

Будуємо перше опорне рішення задачі:

Таблиця 5.

Рішенням даної симплекс таблиці буде наступним:

х₁= 367,5; х₂= 0; х₃=0; х₄= 330; х₅= 997,5; х₆= 2032,5; х₇= 0;

Виручка від реалізації продукції при даному оптимальному плані складе:

21 * 367,5 + 30*0 + 56 *0 = 7717,5 грош. од.

При визначенні потоків продукції, що мінімізують витрати виробництва при додатковій умові випуску продукції не менше 45% від максимально можливого, одержимо наступні результати:

· підприємство випускає вироби П₁ в кількості 367,5 шт. (х₁=367,5);

· вироби П₂, П₃ підприємство не випускає (х₂=х₃=0);

· при даному процесі виробництва залишок ресурсів складе:

а) матеріалів - 330 грош. од.

б) трудових ресурсів - 997,5 людино/годин

в) устаткування 2032,5 станко/годин.

Таким чином, при випуску 367,5 одиниць першого виробу підприємство мінімізує витрати на виробництво при додатковій умові випуску продукції не менше 45% від максимально можливого. При цьому виручка від реалізації продукції (виробу П₁) складе 7717,5 грн. од.

Тема 7. Методи розрахунку оптимальних запасів на підприємствах торгівлі

(4 години)