Лабораторна робота №4.

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 701

Лицензия РБ на издательскую деятельность №0261 от 10 апреля 1998 года.

Формат 60x84. Бумага типографская.

Гарнитура Таймс. Усл. печ. л _______ Усл. изд. л _____Тираж_______ экз.

Заказ № _______

Издательство Башкирского государственного аграрного университета.

Типография Башкирского государственного аграрного университета.

Адрес издательства и типографии: 450001, г. Уфа, ул. 50 лет Октября, 34.

Лабораторна робота №4.

«Еліпсоїд інерції твердих тіл».

1. Мета роботи:вивчення крутильних коливань і визначення моментів інерції твердих тіл, їх залежності від положення осей обертання відносно тіла.

2. Теоретичні відомості.

2.1. Загальні теоретичні дані. Тензор та еліпсоїд інерції.

Кінетичну енергію для руху твердого тіла, що рухається поступально і обертається навколо своєї осі, відносно центру інерції можна записати наступним чином:

.

Вираз для другого доданку з можна перетворити наступним чином:

,

де

- тензор інерції.

У явному вигляді тензор записується наступним чином:

,

,

,

або

.

З видно, що тензор симетричний. Діагоналізація визначає головні осі тіла. Сума діагональних елементів після діагоналізації, що у такому випадку називаються головними моментами інерції, рівна подвоєному центральному моменту інерції , який є моментом інерції тіла відносно точки центра мас і не має безпосереднього фізичного змісту, оскільки при відсутності фіксованої осі весь час змінюється:

.

Момент імпульсу, розрахований через тензор інерції, можна знайти наступним чином. Нехай є вісь А, яка проходить через початок координат та навколо якої відбувається обертання твердого тіла. Кути між нею та трійкою координатних осей рівні, відповідно, . Таким чином, у загальному випадку усі 9 компонент тензора є ненульовими. Тоді

,

або

.

Тоді

.

Якщо ж діагоналізувати тензор інерції, то набуде вигляду:

.

Звідси очевидно, що якщо , то напрями векторів у загальному випадку не співпадають, і кінець вектора момента імпульсу постійно обертається по колу навколо осі обертання.

Якщо використати , то можна побудувати геометричний образ тензора інерції - еліпсоїд інерції. Для цього треба привести до вигляду канонічного рівняння еліпса:

.

Еліпсоїд інерції характеризує розподілення мас у твердому тілі (витягнутий у сторону зростання маси). Якщо еліпсоїди інерції двох твердих тіл еквівалентні, то еквівалентні й динамічні властивості тіл.

2.2. Спецільні теоретичні дані.

Нехай є малі коливання фізичного маятника, що представляє собою складне тіло, утворене рамкою, двома сталевими нитками (розтяжками) та тілом, що досліджується. При пружному закрученні нитки динамічне рівняння обертального руху в проекціях на вертикальну вісь запишеться таким чином:

,

де – модуль кручення нитки, – момент інерції рамки відносно вертикальної осі обертання.

Момент інерції рамки можна знайти через період коливань рамки без тіла, що досліджується, розв’язавши рівняння (2.7) для відповідної динаміки:

.

Тоді (2.7) набуде вигляду:

.

Направляючі косинуси для паралелепіпеда і для куба можна обчислити за формулою:

(2.9).

Тоді момент інерції для куба відносно кожної з головних осей рівен

,

а відносно довільних осей –

,

оскільки сума направляючих косинусів рівна одиниці.

Моменти інерції для паралелепіпеда відносно, відповідно, головних та довільних осей, аналогічно, рівні

,

. (2.10)

Застосовуючи (2.8) до (2.10), можна отримати

. (2.11)

3. Дані та їх обробка.

3.1. Базові дані.

Таблиця 1. Початкові дані.

, c	Куб	Паралелепіпед
1.733		(м)

3.2. Дані по періодам коливань та по моментам інерції відносно осі (використана формула (2.7)).

.

Таблиця 2. Періоди коливань та моменти інерції.

Вісь	, c	,
Куб	Паралелепіпед	Куб	Паралелепіпед
	2.169	3.253	0.568	2.968
	2.179	2.534	0.571	1.139
	2.169	3.444	0.568	2.536
	2.151	2.743	0.541	1.523
	2.169	3.319	0.557	2.681
	2.173	2.660	0.569	1.365
	2.185	2.836	0.589	1.688

3.3. Направляючі косинуси (використана формула (2.9)).

Таблиця 3. Направляючі косинуси.

	Куб		Паралелограм
Вектори	Направляючі косинуси	Вектори	Направляючі косинуси

 

 

3.4. Зіставлення практичних результатів з теоретичними (використані формули (2.6), (2.11)).

Таблиця 4. Експериментальне підтвердження наведених теоретичних викладок.

Вісь	I,	T
Куб	Паралелепіпед	Куб	Паралелепіпед
Теор.	Практ.	Теор.	Практ.	Теор.	Практ.	Теор.	Практ.
	0.5501	0.541	1.5179	1.523	2.1519	2.151	2.7522	2.743
	0.5534	0.557	2.6813	2.681	2.1577	2.169	3.3301	3.319
	0.5587	0.569	1.3911	1.365	2.1777	2.173	2.6742	2.660
	0.5874 2	0.589	1.6689	1.688	2.1902	2.185	2.8565	2.836

 

 

---

<== предыдущая лекция	|	следующая лекция ==>
End Sub	|	Міністерство освіти і науки України

<== 1 ==> |