Необхідні та достатні умови у задачах з параметрами

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1542

В окремих задачах потрібно визначити множину значень параметрів, при яких розв’язок задовольняє певним умовам. Використовуючи ці умови, ми виділяємо із множини всіх допустимих значень параметрів деяку її підмножину. Але це не означає, що всі знайдені значення є шуканими. Вони задовольняють тільки необхідні умови і потребують додаткового дослідження, пов’язаного із достатністю.

Необхідною умовою існування розв’язку рівняння є те, що області значень лівої та правої частин повинні мати спільні значення, тобто їх переріз не повинен бути порожньою множиною. Нема потреби робити певні перетворення при відшуканні розв’язків рівняння

.

Достатньо, порівнюючи підкореневі вирази, побачити, що при довільних та виконується нерівність , тому ліва частина приймає тільки від’ємні значення і задане рівняння розв’язків не має.

Розглянемо рівняння

.

Очевидно, що , і ліва частина рівняння приймає значення не менші 2, причому найменше значення 2 досягається при . Водночас права частина приймає значення, які не перевищують 2 і найбільше значення 2 буде при . Отже, рівність можлива тільки у випадку, коли обидві частини рівняння приймають значення 2. У результаті проведеного аналізу отримуємо відповідь: при , при розв’язків нема.

Необхідною умовою існування непарної кількості розв’язків рівняння , де задана функція парна відносно змінної , є те, що значення повинно бути коренем рівняння, оскільки разом з коренем буде також значення . У цьому випадку параметр повинен задовольняти рівняння . Зокрема рівняння може мати непарну кількість розв’язків тільки при . При цьому є коренем. Але стверджувати це саме про рівняння не можна. При воно має безліч розв’язків і говорити про їх парну або непарну кількість не можна. Тому у такого роду задачах мало розв’язати рівняння . Потрібно продовжити дослідження початкового рівняння, підставляючи у нього знайдені із рівняння значення параметра .

У задачах на відшукання значень параметра , при яких система рівнянь

має єдиний розв’язок, потреба дослідження необхідних умов часто виникає у випадках, коли функції та задовольняють одній із наступних умов:

1) вони обидві парні відносно одної із змінних та або одночасно відносно обох;

2) ,

3) ,

4) .

У першому випадку необхідною умовою існування єдиного розв’язку є виконання обмежень

, або

у залежності від парності функцій відносно одної з двох або обох змінних. Першу та другу системи отримуємо з тих міркувань, що разом із розв’язком ( ) вони матимуть також розв’язок ( ) або ( ) відповідно, а у випадку третьої системи разом із розв’язком ( ) вона матиме також розв’язки ( ), ( ) та ( ).

Другий випадок, на перший погляд, описаний вище, проте це не цілком так. Він можливий, наприклад, коли система містить вирази та ін. Умова існування єдиного розв’язку тут замінюється системою

,

оскільки разом із розв’язком ( ) система матиме також розв’язок ( ).

У третьому випадку крім розв’язку ( ) система має також розв’язок ( ). Очевидно, що дані розв’язки симетричні відносно прямої . Їх співпадання можливе при додатковій умові , яку добавляють до рівнянь системи.

Четвертий випадок аналогічний до третього, тільки тут розв’язки симетричні відносно прямої і систему доповнюють вимогою .

Можливість або потреба у дослідженні необхідних умов може виникати і при інших постановках задач. Наприклад, необхідною умовою того, що рівняння має два корені, сума яких більша 2, а добуток більший 3, є виконання системи нерівностей . У даному випадку система несумісна і поставлена задача розв’язків не має. Але, якщо ми цю ж задачу сформулюємо для рівняння і отримаємо систему із розв’язками , то одержаної нерівності ще не достатньо, щоб вважати задачу розв’язаною. Обов’язково потрібно врахувати умову існування коренів у вигляді нерівності . Звідси, оскільки , отримуємо .

Розглянемо подібну до попередньої наступну задачу.

При яких значеннях параметра рівняння має два корені, які обидва більші від 1?

Помилковий розв’язок, запропонований авторами даної задачі в одному із навчальних посібників, виглядає так. Умова задачі рівносильна системі нерівностей

( - корені рівняння),

звідки, оскільки перша нерівність системи виконується (сума коренів дорівнює 4), а друга записується у виді , отримуємо розв’язок .

Помилка у наведених міркуваннях полягає у тому, що записана система виражає необхідну, але не достатню умову того, що обидва корені більші від 1. Адже, щоб добуток двох чисел був більший 1, зовсім не обов’язково, щоб кожне з них перевищувало 1. Правильний розв’язок може виглядати наступним чином. Оскільки абсциса вершини параболи дорівнює 2 і розташована правіше точки , то для відшукання розв’язку задачі достатньо вимагати, щоб виконувалися умови та . Розв’язавши систему нерівностей , отримуємо .

Відшукання необхідних умов не є обов’язковим етапом розв’язування задач. Наприклад, при розв’язуванні нерівності нема потреби займатися знаходженням її області визначення, оскільки нерівність рівносильна заданій.

Розглянемо деякі задачі, для відшукання розв’язків яких використовуються наведені вище міркування.

Приклад 1. При яких значеннях параметра точка є точкою екстремуму функції

?

Розв’язання. Згідно з умовою задачі, похідна у точці повинна перетворюватися в 0. Це дозволяє отримати значення . Таким чином встановлено, що якщо точка є точкою екстремуму функції, то це можливо тільки при . Однак, як легко переконатися, при цьому значенні параметра функція у точці екстремуму не має.

Відповідь. При жодному.

Приклад 2. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння буде найменшою?

Розв’язання. За теоремою Вієта . Тоді

,

але стверджувати, що значення , при якому одержаний вираз приймає мінімальне значення, є шуканим, ще рано. Потрібно додатково дослідити умову існування дійсних коренів. Знаходимо , звідки та . Як бачимо, число одержаним інтервалам не належить. Тому, оскільки на знайдених інтервалах функція монотонна, мінімальне значення виразу буде в одній із точок . Очевидно, що такою точкою є

Відповідь. .

Приклад 3. Знайти всі значення параметра , при яких система

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що якщо є розв’язком системи, то теж буде розв’язком. Отже, єдиність розв’язку можлива тільки при умові . Із третього рівняння отримуємо . Таким чином, якщо система має розв’язок виду , то , а у випадку розв’язку .

Одержаний результат означає, що початкова система може мати єдиний розв’язок тільки при знайдених значеннях параметрів і що такий розв’язок існує. Тепер обов’язково потрібно перевірити, чи при знайдених значеннях параметрів система не має інших розв’язків. При дістаємо систему

.

Із перших двох рівнянь маємо . Якщо або , то отримуємо знайдений вище розв’язок, а при система розв’язків не має. Якщо ж , то система

має чотири розв’язки, в чому можна переконатися, наприклад, графічно. Таким чином, знайдений варіант значень параметрів не задовольняє умову задачі.

При дістаємо систему

,

з якої, аналогічно до попереднього випадку, одержуємо розв’язок , а при отримуємо несумісну систему . У цьому випадку розв’язок єдиний.

Відповідь. .

Приклад 4. Знайти значення параметра , при яких система

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Легко побачити, що заміна на та на не змінює систему. Іншими словами графіки обох рівнянь симетричні відносно прямої . Тому єдиність розв’язку може досягатись тільки для точок даної прямої. При отримуємо рівняння , яке має єдиний корінь при умові, що , тобто коли . Система матиме при цьому розв’язок . Дослідимо, чи він єдиний. Віднімаючи рівняння системи

,

отримуємо співвідношення . Випадок, коли нами уже розглянутий, а при дістаємо рівняння , яке не має дійсних коренів. Як бачимо, умова у даному прикладі виявилась одночасно як необхідною, так і достатньою.

Відповідь. .

Приклад 5. При яких значеннях параметра рівняння має три різні корені?

Розв’язання. Нехай є коренем. Оскільки ліва частина рівняння є парною функцією, то значення теж буде коренем. Третім коренем, очевидно, може бути тільки значення . При дістаємо необхідну умову, якій повинен задовольняти параметр: . Повернемось до початкового рівняння. При воно набуває виду і має єдиний корінь. При рівняння запишеться у виді і має три різні корені.

Відповідь. .

Приклад 6. При яких значеннях параметра система нерівностей

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Заміни та не змінюють систему. Тому, якщо вона має розв’язок , то розв’язком також буде . Геометрично це означає, що графіки залежностей, визначених кожною із нерівностей системи, симетричні відносно прямої . Таким чином, якщо система має єдиний розв’язок, то він запишеться у виді . Із нерівності , яка повинна мати єдиний розв’язок, отримуємо або . Одержаний результат означає, що якщо система має єдиний розв’язок, то він можливий тільки при . При необхідності його можна знайти – це пара . Дальше нас буде цікавити питання, чи при знайденому значенні параметра існують інші розв’язки? Для цього встановимо, у скількох точках перетинаються графіки залежностей та . Розв’язуючи систему даних рівнянь, отримуємо рівняння , яке має єдиний розв’язок . Отже, така точка єдина. Графік залежності , який симетричний до графіка відносно прямої , теж має з цією прямою цю саму єдину спільну точку. Отже, розв’язок єдиний.

Відповідь. .

Приклад 7. При яких значеннях параметрів та система

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Разом з розв’язком система матиме розв’язки , , , та . Розв’язок буде єдиним тільки у випадку, коли він матиме вид . Тоді з першого рівняння отримуємо , а з двох інших систему . Із останніх співвідношень дістаємо , звідки або . При маємо , а при . Єдиність розв’язку системи при випливає з другого рівняння системи. При дістаємо систему

Друге рівняння системи визначає у прямокутній декартовій системі координат сферу з центром у початку координат, радіус якої . Геометричним образом першого рівняння є площина, яка, як легко визначити, проходить від початку координат на відстані і, таким чином, дотикається до сфери. Для точки дотику знаходимо . Одержані значення задовольняють третє рівняння системи, отже є її єдиним розв’язком.

Опишемо ще один спосіб відшукання розв’язку останньої системи. Віднімаючи від другого рівняння перше, помножене на , дістаємо рівність . Записавши її у виді , отримуємо попередній результат.

Відповідь. та .

Приклад 8. При яких значеннях параметра система рівнянь

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Запишемо систему у виді

.

Тепер видно, що якщо є розв’язком системи, то вона матиме також розв’язок , оскільки пере позначення змінних та не змінює виду системи.. Для того, щоб він був єдиним, необхідне виконання умови . Підставивши у перше рівняння , дістаємо рівняння , звідки . Область визначення виразу , яка визначається умовою , дозволяє отримати із множини єдине значення . Оскільки друге та третє рівняння системи парні відносно змінної , то єдиність розв’язку може досягатися тільки при . Таким чином, якщо система має єдиний розв’язок , то він має вид і отримати його можна, як випливає з другого рівняння, тільки при . Тепер покажемо, що при система має єдиний розв’язок . Значення задовольняють перше рівняння системи, а два інших ми перепишемо у виді

.

Підставляючи у перше рівняння, дістаємо . Одержане рівняння має єдиний розв’язок .

Відповідь. .

Приклад 9. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання. Необхідною умовою того, що рівняння має корінь, є його належність області визначення цього рівняння. Для даного виразу така множина визначається системою нерівностей

з єдиним розв’язком . Дане значення буде розв’язком рівняння тільки при .

Відповідь. При розв’язком буде . При інших значеннях розв’язків нема.

Приклад 10. Розв’язати нерівність

.

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що ліва частина нерівності визначена на проміжку і, монотонно зростаючи на цьому проміжку, приймає найменше значення у точці . Це значення дорівнює 2. Записавши праву частину нерівності у виді , бачимо, що значення цього виразу не перевищують 2, причому рівність 2 досягається в єдиній точці . Порівнюючи множини значень обох частин нерівності, робимо висновок, що вона можлива тільки при .

Відповідь. При розв’язок , при інших значеннях розв’язків нема.

Приклад 11. Користуючись означенням періодичної функції, знайти період функції .

Розв’язання. Підставляючи у тотожність

значення , дістаємо рівняння . Запишемо його у виді , звідки отримуємо рівняння з розв’язками , . Перевіркою встановлюємо, що значення є періодом заданої функції.

Приклад 12. При яких значеннях параметра рівняння має чотири корені, які утворюють арифметичну прогресію?

Розв’язання. Очевидно, що якщо - корінь даного рівняння, то число теж буде коренем. Нехай дане рівняння має чотири корені , які утворюють арифметичну прогресію. Тоді виконуються рівності та , звідки отримуємо рівняння з коренями . Одержані значення виражають необхідну, але не достатню умову, якій повинні задовольняти корені заданого рівняння. Перевіркою встановлюємо, що не задовольняє умову задачі, а при дістаємо . Для даного значення коренями рівняння є числа .

Відповідь. .

Приклад 13. Розв’язати систему

.

Розв’язання. Спочатку розв’яжемо квадратне рівняння , серед коренів якого будуть шукані значення та . Дістаємо , якщо . Оскільки множиною значень арктангенса є інтервал , то потрібно встановити, при яких знайдені корені належать цьому проміжку. У результаті отримаємо чотири ірраціональні нерівності , розв’язування яких буде дещо громіздким. Тому для встановлення належності коренів вказаному проміжку для функції вимагатимемо виконання умов , та , що приводить до нерівності .

Відповідь. при . Для інших розв’язків нема.

Приклад 14. При яких значеннях параметра множина розв’язків нерівності містить відрізок ?

Розв’язання. Згідно з умовою задачі нерівність повинна виконуватися при та , тому виконуються нерівності та . Розв’язуючи їх, отримуємо . Дана умова є необхідною для існування розв’язку задачі, тому додатково потрібно перевірити, чи задана в умові нерівність виконується для інших точок відрізка . При маємо , тому , тобто нерівність виконується для всіх .

Відповідь. .

Приклад 15. При яких значеннях параметра рівняння має тільки цілі розв’язки?

Розв’язання. При отримуємо цілий розв’язок . Нехай і рівняння має цілі розв’язки та . За теоремою Вієта , . Оскільки числа та цілі, то число теж ціле. Тоді - ціле число, а це можливо при , звідки . Ми розглядали необхідну умову наявності цілих розв’язків, припускаючи, що вони існують. Тому потрібно перевірити одержані значення . Цілі розв’язки отримуємо при та .

Відповідь. , або , або .

Приклад 16. При яких значеннях параметра рівняння та мають спільні корені?

Розв’язання. Нехай - спільний корінь обох рівнянь. Тоді це число буде коренем рівняння, яке є різницею заданих, тобто буде виконуватися рівність . Очевидно, що , тому . Тепер потрібно встановити, при яких значеннях параметра знайдене значення буде коренем одного із рівнянь. Підставляючи у друге рівняння, отримуємо , звідки після очевидних перетворень дістаємо або .

Відповідь. .

Завдання для самостійного розв’язання.

1. При якому найменшому значенні параметра система

має рівно два розв’язки?

2. При яких значеннях параметра система

має розв’язок, який задовольняє умову ?

3. Розв’язати рівняння .

4. Розв’язати рівняння .

5. При яких значеннях параметра система

має єдиний розв’язок?

6. При яких значеннях параметра рівняння має тільки один розв’язок?

7. Користуючись означенням періодичної функції, знайти період функції .

8. Розв’язати систему .

9. Знайти всі значення а, при яких система має єдиний розв’язок.

10. При яких значеннях параметра рівняння та мають спільні корені?

11. При яких значеннях параметра рівняння та мають спільні корені?

12. При яких значеннях параметра рівняння має 4 корені?

13. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння дорівнює 14?

14. При яких значеннях параметра сума квадратів коренів рівняння дорівнює 6?

15. При яких значеннях параметра система має єдиний розв’язок?