Графічні методи

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1470

При розв’язуванні рівнянь (нерівностей, систем) з параметром часто досить ефективним методом є графічний. Опишемо його суть та окремі ознаки, які підкреслюють можливість застосування. Нехай нам потрібно розв’язати певну задачу, зв’язану із рівнянням . Перетворимо його до виду так, щоб одна з частин рівняння (функція ) не містила параметра. Вважатимемо, що її графік є не складним для зображення. Графік другої частини, тобто функції буде змінювати своє положення, оскільки залежить від параметра. Тепер, аналізуючи рух графіка функції відносно графіка при зміні параметра , часто можна робити висновки про кількість коренів вихідного рівняння та їх розташування. Досить зручно застосовувати цей підхід у випадках, коли функція задається одною із рівностей

, , , , , , .

При зростанні у першому випадку пряма зміщується вверх, у другому повертається навколо точки , у двох наступних прямий кут та половинка параболи з вершинами у точках рухаються вправо, у передостанньому – змінюється верхнє півколо з радіусом , а в останньому змінює своє положення верхнє півколо з центром у точці , який розташований на осі . Зрозуміло, що це далеко не повний перелік усіх випадків, у яких можна пробувати застосувати графічний метод.

У залежності від постановки задачі вибирають потрібне взаємне розташування графіків та досліджують, при яких значеннях параметрів воно досягається. При розв’язуванні нерівностей досліджують проміжки, на яких один графік розташований над або під іншим. Якщо, наприклад, нас цікавить, при яких значеннях параметра нерівність виконується для всіх із відрізка , то достатньо проаналізувати, при яких графік параболи на вказаному відрізку розташований не нижче від горизонтальних прямих . Очевидно, що це буде при .

Особливо ефективно працює графічний метод у задачах, де досліджується існування та кількість розв’язків. Наведемо декілька прикладів.

Приклад 1. Встановити, при яких значеннях параметра а система

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Перетворимо систему до виду

та побудуємо графіки одержаних рівнянь (рис. 1). Очевидно, що кола, задані першим рівнянням, матимуть з прямим кутом єдину спільну точку, якщо цією спільною точкою буде вершина прямого кута – точка , а центр кола – точка , буде розташований нижче цієї точки на відстані, яка дорівнює радіусу кола 3.

Відповідь. .

Ми навели приклад однієї з найпростіших постановок задач для даної системи. В даній задачі можна досліджувати також умови існування іншої кількості розв’язків (двох, трьох, чотирьох, жодного) та розв’язків із певними властивостями. Очевидно також, що при розв’язуванні поставленої задачі можна використовувати і інші методи, наприклад, метод підстановки, або, звернувши увагу на те, що оскільки разом із розв’язком система матиме розв’язок , то для шуканого єдиного розв’язку повинна виконуватися умова . Вибір графічного методу обґрунтовується його наглядністю та компактністю.

Приклад 2.При яких значеннях параметра а система

має три різних розв’язки?

Розв’язання. Розглянувши перше рівняння системи як квадратне відносно змінної та розклавши його ліву частину на множники, дістаємо . Це дозволяє замінити систему рівносильною сукупністю двох систем

та .

Зобразимо у системі координат дві параболи та і будемо їх перетинати прямими (рис. 2). Всі ці прямі проходять через точку (4, 0) і матимуть із зображеними параболами три спільні точки тільки у випадках, коли або дотикаються до них, або проходять через їхні точки перетину. На рисунку зображено по одній із таких прямих. Оскільки із точки, розташованої поза параболою, до неї можна провести дві різні дотичні, то задача матиме, очевидно, шість розв’язків. Для їх відшукання спочатку знайдемо спільні точки заданих парабол. Із системи

отримуємо, що такими будуть точки (-1, 3) та (2, 0). Підставляючи їхні координати у рівняння прямих , дістаємо два перші шукані значення: , . Випадки, коли прямі дотикаються до парабол, характеризуються наявністю у них єдиної спільної точки (єдину спільну точку із параболою мають також вертикальні прямі, але таких у множині прямих нема). Одержані вище системи зводяться до двох квадратних рівнянь та , а рівність нулю їхніх дискримінантів дозволяє отримати інші розв’язки: та .

Відповідь. , , , .

Приклад 3. Встановити, при яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки.

Замінимо рівняння рівносильною системою

.

Після очевидних перетворень перше рівняння можна записати у виді

.

Очевидно, що при воно визначає коло з центром у точці К(-1, -1) та радіусом . Друга нерівність задає півплощину, розташовану над прямою (рис. 3).

Задане рівняння матиме розв’язки, якщо існуватимуть спільні точки кола та півплощини, а це буде виконуватися при умові, що , де - відстань від центра кола до прямої. Очевидно, що . Із нерівності знаходимо .

Відповідь. .

В окремих випадках, вважаючи змінну незалежною, у системі координат будують графік залежності . Існування та кількість розв’язків рівняння тепер встановлюють по наявності спільних точок побудованого графіка із прямими, які паралельні до осі , тобто із прямими виду . Наведемо наступний приклад.

Приклад 4. Знайти всі значеннях параметра , при яких система нерівностей

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Перепишемо систему у виді

і побудуємо у системі координат графіки функцій та (рис. 4). Точки , координати яких задовольняють систему, розташовані між параболою та прямою. Тепер, аналізуючи одержану область, потрібно встановити, які з горизонтальних прямих мають з областю єдину спільну точку. Зрозуміло, що це буде пряма , яка дотикається до параболи у її вершині, а також пряма, яка проходить через нижню точку перетину побудованих параболи та прямої. Розв’язавши систему, складену із рівнянь цих ліній, дістаємо .

Відповідь. та .

Перейдемо до розгляду деяких вправ, які підкреслюють доцільність використання в окремих задачах графічного методу.

Приклад 5. Дослідити, скільки розв’язків має рівняння ?

Розв’язання. Графіком лівої частини тобто функції , або системи

є множина півкіл, центри яких знаходяться у точках з радіусами (рис. 5). Кількість розв’язків рівняння залежить від того, скільки спільних точок мають ці півкола із прямими . Оскільки кожна із сім’ї прямих , визначених правою частиною заданого рівняння, теж проходить через точку , то спільна точка буде єдиною.

Відповідь. Рівняння має єдиний розв’язок при будь-якому значенні .

Приклад 6. Скільки розв’язків має рівняння ?

Розв’язання. Графік лівої частини рівняння зображений на рисунку 6. Кількість спільних точок, які має даний графік із прямими , які перетинають вісь у точці , залежить від того, як розташована точка відносно відрізка .

Відповідь. При рівняння має єдиний розв’язок, при - безліч, при - жодного.

Приклад 7. Скільки розв’язків має рівняння

?

Розв’язання. Очевидно, що рівняння може мати розв’язки тільки при . Побудуємо графік функції , який матиме з віссю дві спільні точки та . Оскільки , то вершина параболи знаходиться у точці . Кількість точок перетину прямих із побудованим графіком залежить від взаємного розташування точок та (рисунок 7). Бачимо, що при умові розв’язків буде чотири, при - три. Якщо або - два.

Відповідь. Чотири при , три при , два при . При жодного.

Приклад 8. Встановити, при яких значеннях параметра а нерівність має розв’язки.

Розв’язання. Зобразимо графік функції (рис. 8). Прямі перетинають осі та у точках та і їх розташування відносно півкола залежить від параметра . Очевидно, що задана нерівність матиме розв’язки, якщо знайдуться точки прямої, які розташовані нижче від точок півкола. Встановлюємо, що пряма дотикається до півкола при . Тоді при прямі будуть розташовані нижче від дотичної і нерівність матиме розв’язки.

Відповідь. .

Приклад 9. Скільки розв’язків має рівняння

?

Розв’язання. Числа 2 та 4 розбивають всю числову вісь на три проміжки, на кожному із яких вирази, які містяться під знаками модулів, зберігають сталий знак. Встановлюючи знаки цих виразів, можна представити ліву частину рівняння у вигляді функції

та побудувати її графік (рис. 9). Перетинаючи одержаний графік прямими , можна зробити висновок про кількість розв’язків рівняння.

Відповідь. При два розв’язки, при один, при жодного.

Приклад 10. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Перепишемо задане рівняння у виді та побудуємо графік функції . Кожна пряма, яка задається рівнянням , проходить через точку та має з графіком єдину спільну точку при , а також у випадку дотику (рис. 10). Відкинемо випадок , при якому отримаємо сторонній корінь , та встановимо, при яких значеннях пряма та пів параболи дотикаються. Нехай - точка дотику. Складемо рівняння дотичної. Оскільки кутовий коефіцієнт дорівнює , то її рівняння запишеться у виді

.

Порівнюючи з рівнянням , отримуємо та , звідки .

Відповідь. та .

Приклад 11. При яких значеннях параметра рівняння має три розв’язки?

Розв’язання. Позбудемось знаків модулів у лівій частині рівняння:

,

.

Значення та 4 розбивають числову пряму на п’ять інтервалів, на кожному з яких ліва частина рівняння має свій аналітичний вираз:

.

Це дозволяє побудувати відповідний графік (рис. 11). Пряма має з одержаним графіком три спільні точки тільки при .

Відповідь. .

Приклад 12. Скільки коренів має рівняння ?

Розв’язання. При дане рівняння розв’язків не має. При запишемо його у виді та побудуємо графік функції . Оскільки функція непарна, то дослідимо її тільки на промені . Із рівняння знаходимо критичну точку та мінімум функції . При побудові графіка можна використати точку , в якій він перетинає вісь . Аналізуючи кількість спільних точок побудованого графіка та прямих (рис. 12), отримуємо наступний результат. При графіки перетинаються в одній точці, при мають дві, а при - три спільні точки. Залишається розв’язати одержані рівняння та нерівності.

Відповідь. Один корінь при , два корені при , три корені при .

Приклад 13. При яких значеннях параметра рівняння має три корені?

Розв’язання. Очевидно, що при рівняння має єдиний корінь. Нехай . Тоді, послідовно будуючи графіки функцій , , , , отримуємо графік правої частини рівняння (рис. 13). Розташування прямої залежить від значення . Зрозуміло, що оскільки відповідно до умови задачі пряма повинна мати з графіком правої частини три спільні точки, то вона повинна проходити через одну із точок або . У першому випадку дістаємо рівняння з коренем , а у другому - , звідки .

Відповідь. При та .

Приклад 14. Скільки коренів має рівняння

?

Розв’язання. Запишемо рівняння у виді та побудуємо графік функції (рис 14). Тепер проаналізуємо, при яких значеннях прямі пучка перетинають даний графік та у скількох точках.

Очевидно, що при спільних точок не буде, а при буде одна.

Нехай . Тоді одна із точок перетину буде на проміжку . Для встановлення умов існування інших спільних точок складемо рівняння дотичної до графіка функції . Нехай - точка дотику. Тоді і, оскільки , то із двох одержаних співвідношень отримуємо . Тепер зрозуміло, що якщо кутовий коефіцієнт прямої змінюється у межах , то спільних точок буде три (зауважимо, що навіть при досить малому куті нахилу до осі пряма перетинає графік функції на проміжку у двох точках), при - дві та при - одна.

Відповідь. При рівняння має три розв’язки, при - два, при та при - один. Якщо , то розв’язків нема.

Приклад 15. Скільки розв’язків має система

у залежності від параметра а?

Розв’язання. Перше рівняння системи визначає множину кіл, радіуси яких дорівнюють 1, а центри, знаходячись у точках , змінюються. Друге рівняння задає прямий кут з вершиною у точці , який симетричний відносно осі (рис. 15).

Кількість розв’язків системи визначається кількістю спільних точок побудованих графіків. Для центра суцільного кола, яке дотикається до прямого кута із середини, знаходимо

.

Умови, при яких виконуються інші випадки, очевидні.

Відповідь. Чотири при , три при , два при та при , один при . При жодного.

Приклад 16. При яких значеннях параметра рівняння має один корінь?

Розв’язання. Перепишемо рівняння у виді та побудуємо графік правої частини рівняння, тобто графік функції . Для цього при умові, що , перетворимо її рівняння до виду . Одержане співвідношення разом із накладеною умовою визначають півколо з центром у точці , радіус якого 1 (на рис. 16 – це півколо ). Задане рівняння матиме єдиний розв’язок, якщо прямі , визначені лівою частиною, матимуть із півколом єдину спільну точку. Це буде виконуватися, якщо вони проходитимуть між променями та . Крім цього, до розв’язків задачі потрібно включити також ті значення , які є кутовими коефіцієнтами прямих та дотичної. Очевидно, що кутовий коефіцієнт прямої дорівнює 1, а прямої . Для відшукання кутового коефіцієнта дотичної покажемо ще один спосіб, який відмінний від варіантів, наведених при розв’язуванні подібної вправи в . Нехай дотична утворює із додатнім напрямом осі кут . Оскільки пряма утворює з цим же напрямом кут і , то

.

Відповідь. При та .

Приклад 17. При яких значеннях параметра рівняння має 2011 коренів?

Розв’язання. Зведемо рівняння до виду та побудуємо графіки обох частин. Ліва частина визначає функцію , графіком якої є верхнє півколо (точка при ) з радіусом . Кожна із прямих перетинає півколо у двох точках при , де або дотикається до півкола при цілому і . На рис. 17 зображено випадок при , коли рівняння має 9 коренів. Рівняння матиме 2011 коренів, якщо , оскільки при відповідні прямі матимуть з півколом 2010 спільних точок і ще одна пряма дотикатиметься до нього.

Відповідь. .

Зауважимо, що в одній і тій же задачі можна використовувати різні графічні методи. Продемонструємо це на наступній вправі.

Приклад 18. При яких значеннях параметра рівняння має два корені?

Розв’язання. Побудуємо у координатній площині графіки функцій та (рис. 18). Очевидно, що половинки парабол із вершинами у змінних точках матимуть із прямою дві спільні точки, якщо число змінюється у проміжку від до , де - абсциса вершини половини параболи, яка дотикається до прямої. Оскільки для точки дотику , яка розташована на прямій , то і рівняння дотичної матиме вид . З рівняння знаходимо . Тоді і з рівняння , записаного у виді , дістаємо , тобто .

Для того, щоб розглянути другий спосіб відшукання розв’язку, замінимо рівняння рівносильною системою

і зобразимо у координатній площині графіки функцій та (рис.19). Мінімальне значення параболи досягається у точці і дорівнює . Очевидно, що прямі мають із побудованим графіком дві спільні точки на промені тільки при .

Аналітичний спосіб розв’язання поставленої задачі міг би виглядати наступним чином. Одержана вище система означає, що рівняння повинно мати два корені, серед яких нема від’ємних. Із нерівності отримуємо, що рівняння має два корені при . Обидва корені матимуть однаковий знак, якщо вільний член додатний, тобто при . На те, що у цьому випадку обидва корені будуть додатні, вказує знак коефіцієнта біля . У відповідь залишається добавити значення , яке теж задовольняє умову задачі.

Відповідь. .

Завдання для самостійного розв’язання.

Розв’язати наступні вправи, користуючись графічним методом.

1. Скільки розв’язків має рівняння ?

2. Скільки розв’язків має рівняння ?

3. Скільки розв’язків має рівняння ?

4. Скільки розв’язків має рівняння ?

5. Скільки розв’язків має рівняння ?

6. При яких значеннях параметра рівняння має три корені?

7. При яких значеннях параметра рівняння має три корені?

8. Скільки розв’язків має система рівнянь

у залежності від параметра а?

9. Скільки розв’язків має система рівнянь

у залежності від параметра а?

10. При яких значеннях параметра система

має розв’язки?

11. При яких значеннях параметра рівняння має рівно три корені?

12. При якому найбільшому значенні параметра нерівність має розв’язки?

13. При яких значеннях параметра рівняння має 5 коренів?

14. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

15. При яких значеннях параметра нерівність має хоч один від’ємний розв’язок?

16. При яких значеннях параметра система рівнянь

має три розв’язки?

17. Знайти всі значеннях параметра , при яких система

має єдиний розв’язок.

18. При яких значеннях параметра система нерівностей

не має розв’язків?

19. Знайти всі значеннях параметра , при яких рівняння не має розв’язків.

20.При яких рівняння має єдиний розв’язок?

21. Знайти всі значення параметра , при яких система рівнянь

має розв’язки.

22.Знайти значення , при яких рівняння має тільки один розв’язок.

23. Знайти всі значення параметра а, для яких існує пара від’ємних чисел х та у, які задовольняють систему

.

24. Знайти всі значення параметра , при яких система нерівностей

задовольняється лише при одному .

25. При яких значеннях параметра рівняння має рівно три розв’язки?

26.Знайти всі значення а, при яких система

має єдиний розв’язок.

27. При яких значеннях а рівняння має рівно три корені?

28. Скільки розв’язків має рівняння

у залежності від параметра а?

29. Скільки розв’язків має рівняння у залежності від параметра а?