Алгебраїчні рівняння та нерівності

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 2823

При розв’язуванні алгебраїчних рівнянь та нерівностей з параметром часто використовуються традиційні прийоми для відшукання розв’язків рівнянь та нерівностей без параметра, які полягають у цілеспрямованому послідовному спрощенню початкового виразу з метою зведення його до відомих алгоритмічних співвідношень. Проте потрібно розуміти, що коли метод, використаний для відшукання розв’язків задач з параметром, завжди можна застосувати у частинних випадках при конкретних значеннях параметрів, то аналогічний підхід при знаходженні розв’язку задачі з параметром не завжди підходить. Для прикладу розглянемо рівняння та поставимо задачу дослідити, скільки коренів воно має. При ми можемо застосувати відомий прийом та знайти корінь , шукаючи його серед дільників вільного члена рівняння, тобто числа -2. Загальна кількість коренів рівняння після цього легко встановлюється. Проте при довільному значенні параметра цей спосіб міркувань не підходить. Відповідь на поставлену задачу можна отримати, аналізуючи кількість спільних точок графіків функцій та . Водночас зауважимо, що повністю відмовлятися від розгляду частинних випадків не варто, оскільки це іноді допомагає знайти ідею розв’язання загальної задачі.

Перш, ніж перейти до детальнішого розгляду певних прийомів відшукання розв’язків алгебраїчних рівнянь та нерівностей, зробимо зауваження, пов’язане з областю допустимих значень змінної та параметра .

Розв’язуючи алгебраїчне рівняння або нерівність, потрібно встановити, при яких значеннях параметра «претенденти» на назву розв’язків не входять в ОДЗ відповідного виразу. При цьому отримують певні обмеження на змінні параметри, які у відповіді на задачу вказуються як такі, що при них поставлена задача не має відповідних розв’язків. Наприклад, у рівнянні , знайшовши корені чисельника , потрібно розглянути випадок, коли , тобто . При цьому значенні параметра корінь буде стороннім.

Якщо рівняння має два або більшу кількість коренів, окремо розглядають випадки, коли вони попарно рівні і при знайдених після цього значеннях параметра у відповідь записують один розв’язок. У попередньому прикладі при , тому відповідь на поставлену задачу буде такою. Рівняння має два корені при та і один корінь при та .

Більш детально наведені вище міркування проілюструємо на наступних прикладах.

Приклад 1. При яких значеннях параметра а рівняння при різних а має різні корені?

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у виді та розглянемо функцію . Приймаючи значення на проміжку , вона монотонно зростає на всій числовій осі, оскільки має додатну похідну . Тому рівняння має єдиний розв’язок при довільному значенні . Функція , графік якої зображено на рисунку 1, приймає різні значення при різних на проміжках та . Вони і дають відповідь на задачу. Точки відрізка не задовольняють умову задачі, оскільки для довільного значення з цього проміжку знайдеться принаймні ще одне значення таке, що в обох точках функція приймає однакові значення, а задане в умові рівняння має один і той же корінь.

Відповідь. .

Приклад 2. При яких значеннях параметра а розв’язки нерівності утворюють один інтервал?

Розв’язання. Рівняння має корені та . Очевидно, що значення є точкою максимуму, а - точкою мінімуму. Із випадків, зображених на рисунках 2 – 6, умову задачі задовольняють ті, які показані на рисунках 2, 3 та 5. Графік, зображений на рисунку 2, характеризується умовою , звідки . Для випадків 3, 5 маємо , звідки .

Приклад 3. При яких значеннях параметра а рівняння та мають спільний корінь?

Розв’язання. При друге рівняння задовольняється при будь-якому дійсному , а перше має корені 0 та . Вони будуть спільними розв’язками для обох рівнянь при даному значенні .

Нехай . Розглянемо рівняння , яке є різницею двох заданих. Очевидно, що якщо два із трьох записаних рівнянь мають спільний корінь, то він буде коренем третього рівняння. Перетворимо одержане рівняння до виду та розглянемо три можливі випадки.

Якщо виконується рівність тобто , то перше рівняння набуває виду і не має розв’язків.

Значення буде спільним коренем при . Цей випадок ми уже розглянули.

Рівняння не має розв’язків при та має корінь при інших . Встановимо, коли одержане значення буде спільним коренем. Для цього підставимо його у перше рівняння (воно простіше). Дістаємо або . Оскільки , то і .

Відповідь. та .

Приклад 4. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має єдиний корінь.

Розв’язання. Коренями чисельника є значення . Рівняння матиме єдиний розв’язок, якщо знайдені корені співпадають, або коли один і тільки один із них не належить області визначення рівняння (тобто дорівнює 0 або 2). З рівності дістаємо , а інші чотири випадки: , , та дозволяють знайти ще три значення параметра, які задовольняють умову задачі.

Відповідь. .

Приклад 5. Визначити, при яких значеннях параметра корені рівняння від’ємні?

Розв’язання. Запишемо рівняння у виді та перейдемо до рівносильної системи

.

Якщо , то розв’язків нема. При знаходимо . Встановимо, при яких одержане значення не належить області визначення рівняння. Рівність виконується при та , а рівняння має корінь . Таким чином, рівняння має єдиний корінь при всіх , крім . Він буде від’ємним при .

Відповідь. .

Приклад 6. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у виді або . Оскільки є коренем рівняння для довільного , то будемо вимагати, щоб рівняння або не мало розв’язків, або мало єдиний корінь, який дорівнює 1. Перший випадок буде при , або при умові , яка виконується при та . Значення буде коренем квадратного рівняння при . Але при цьому значенні дістаємо рівняння , другим коренем якого є число -2.

Відповідь. .

Приклад 7. При яких значеннях параметра розв’язки нерівності утворюють промінь?

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що значення є розв’язком нерівності та повинно належати променю. Спростимо нерівність до виду і розглянемо дві системи

та ,

сукупність яких рівносильна одержаній нерівності. Кожна із систем матиме значення розв’язком тільки при умові .

Рівняння , маючи при корені різних знаків, дозволяє отримати розв’язки першої системи у вигляді відрізка при довільному .

Розглянемо другу систему. При тобто при друга нерівність системи виконується для довільних , а розв’язком системи буде промінь . Якщо , то розв’язки квадратної нерівності отримаємо у виді об’єднання двох проміжків , де , - корені рівняння і < . Очевидно, що обидва корені мають однаковий знак. Випадок від’ємних коренів не задовольняє умову задачі, оскільки множина розв’язків складатиметься із двох проміжків. У випадку додатних коренів розв’язок системи запишеться у вигляді інтервалу . Додатні корені будуть при умові , звідки отримуємо нерівність . Об’єднуючи одержані в обох випадках значення , дістаємо відповідь.

Відповідь. .

Приклад 8. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний корінь? Знайти цей корінь.

Розв’язання. Запишемо рівняння у виді та розглянемо функцію . Її графік матиме з прямою єдину спільну точку тільки у випадку дотику (пряма вертикальною бути не може). Складемо рівняння дотичної до неї у деякій точці , яка належить графіку. Оскільки , то рівняння дотичної запишеться у виді . Вона співпадатиме з прямою , якщо та . З одержаних співвідношень отримуємо рівняння , звідки або . При дістаємо , а при .

Відповідь. при та при .

Приклад 9. При яких значеннях параметра рівняння має три корені?

Розв’язання. Дане рівняння рівносильне сукупності двох квадратних рівнянь та . Очевидно, що корені обох рівнянь співпадати не можуть. Перше рівняння має два корені різних знаків при довільних , оскільки вільний член від’ємний. Тому будемо вимагати, щоб друге рівняння мало єдиний розв’язок. Це можливо, якщо його дискримінант , звідки .

Рекомендуємо розв’язати поставлену задачу, користуючись графічним методом.

Відповідь. .

Приклад 10. При яких значеннях параметра рівняння має рівно два корені?

Розв’язання. При дістаємо рівняння , яке має два корені різних знаків. Умові задовольняє тільки один із них, а саме від’ємний. Тому від рівняння , яке отримаємо у випадку і яке може мати корені одного знаку, будемо вимагати, щоб воно мало єдиний додатній корінь, для чого необхідно, щоб дискримінант дорівнював 0. Знаходимо , звідки . Щоб корінь рівняння був додатнім коефіцієнт повинен бути від’ємним. Цій умові задовольняє тільки значення .

Відповідь. .

Приклад 11. При яких значеннях параметра нерівність виконується при всіх ?

Розв’язання. Оскільки вираз додатний, то нерівність можна записати у виді . Зробимо наступні перетворення:

,

,

.

Щоб одержана нерівність виконувалася при довільному перший множник не повинен мати коренів. Ця вимога буде виконуватися при . Перевіркою встановлюємо, що квадратний тричлен при цьому приймає тільки додатні значення, а нерівність виконується при довільному .

Відповідь. .

Приклад 12. При яких значеннях параметра всі корені рівняння

належать відрізку ?

Розв’язання. Очевидно, що значення не є коренем рівняння. Запишемо рівняння у виді , або , де . За теоремою Вієта знаходимо корені , . Повертаючись до заміни, дістаємо два рівняння та . Перше з них має корені, якщо , а друге при . Вони будуть належати відрізку , якщо для функцій виконуються умови

або ,

звідки . У випадку дістаємо , що разом із умовою існування коренів дає та . При маємо і у перетині з множиною дістаємо та . Аналізуючи обидві знайдені множини, знаходимо, що всі корені заданого рівняння належать відрізку , якщо та .

Відповідь. та .

Приклад 13. При яких значеннях рівняння має рівно три розв’язки?

Розв’язання. Запишемо задане рівняння у виді та, розв’язавши його як квадратне відносно , дістанемо та . Графіком одержаної сукупності є об’єднання двох парабол, які зображено на рисунку 7. Прямі виду матимуть із обома параболами три спільні точки тільки у двох випадках: якщо проходять через їхню точку перетину та коли дотикаються до верхньої параболи (на рисунку вони зображені пунктирними лініями). Тепер легко встановити, що це буде при та .

Відповідь. та .

Завдання для самостійного розв’язання.

1. Розв’язати рівняння .

2. Розв’язати рівняння .

3. Розв’язати рівняння .

4. Розв’язати рівняння .

5. При яких значеннях параметра рівняння має два корені?

6. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь?

7. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь?

8. Многочлен приймає при довільному цілому ціле значення. Довести, що коефіцієнти - цілі числа.

9. Визначити ті значення , при яких сума квадратів коренів рівняння приймає максимальне значення.

10. При яких значеннях параметра нерівність виконується для всіх дійсних ?

11. При яких значеннях параметра многочлен є повним квадратом?

12. При яких значеннях параметра вираз є квадратом многочлена другого степеня відносно змінної ?

13. При яких значеннях параметра рівняння має три розв’язки?

14. Розв’язати рівняння .

15. Скільки розв’язків має рівняння у залежності від параметра а?

16. Скільки розв’язків має рівняння у залежності від параметра а?

17. При яких значеннях параметра а рівняння та мають спільний корінь?

18. Розв’язати рівняння .

19. Розв’язати рівняння .

20. Розв’язати рівняння , знаючи, що воно має три різні корені, які утворюють геометричну прогресію.

21 . При якому найменшому цілому а рівняння має чотири різні корені?