Трансцендентні рівняння, нерівності та їх системи

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 2148

Наведені нижче ірраціональні, показникові, логарифмічні, тригонометричні рівняння (нерівності, системи) підкреслюють, як при їх розв’язуванні суттєво може допомогти врахування області визначення, множини значень, монотонності та інших властивостей функцій. Останні часто залежать від змінного параметра.

Приклад 1. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання. Областю визначення даного виразу є множина . Спростимо рівняння, внісши множник під знак радикала. Оскільки

,

то отримуємо два різні рівняння, які розглядаються на різних проміжках:

при

та

при .

Заміна дозволяє записати їх у виді , звідки (знак « - » відповідає першому рівнянню, а знак « + » - другому). Із першого рівняння отримуємо , а з другого . Розглянемо окремо кожний із одержаних випадків.

Для дістаємо рівняння , яке рівносильне мішаним системам

, .

Очевидно, що умові задовольняє тільки корінь . Він буде розв’язком початкового рівняння при .

Якщо , то замінюючи рівняння рівносильною системою

та міркуючи аналогічно, як у попередньому випадку, отримуємо розв’язок при .

Випадок приводить до системи рівнянь

або

з розв’язком при .

Четвертий корінь дозволяє знайти ще один розв’язок заданого рівняння при .

Відповідь. та при ; та при ; і при ; та при .

Приклад 2. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання. Насамперед зауважимо, що рівність виконується тоді і тільки тоді, коли . Запишемо задане рівняння у виді

та, скориставшись зробленим зауваженням, замінимо його рівносильною нерівністю

.

Оскільки при маємо , то у цьому випадку . При другий множник нерівності додатний, тому . При розв’язком нерівності буде довільне .

Відповідь. при . При . При .

Приклад 3. При яких значеннях параметра а система

має єдиний розв’язок?

Розв’язання. Рівняння на проміжку має єдиний розв’язок . Щоб система не мала інших розв’язків крім даного, будемо вимагати, щоб значення не належало проміжку або співпадало з розв’язком , або не належало області визначення функції . На проміжку таким є число .

Відповідь. та .

Приклад 4. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у виді

.

Отримана рівність виконується тоді і тільки тоді, коли

.

Якщо , то система виконується для довільних . При замінимо її подвійною нерівністю , розв’язки якої не будуть утворювати порожню множину, якщо або .

Відповідь. при ; при . При розв’язків нема.

Приклад 5. При яких значеннях параметра рівняння

має єдиний корінь?

Розв’язання. Перетворимо рівняння до виду та замінимо його рівносильною мішаною системою

.

Із першої нерівності отримуємо . Для коренів квадратного рівняння вимагатимемо, щоб вони співпадали та попадали у знайдений інтервал або тільки один із них належав цьому інтервалу. Знаходимо . При дістаємо рівняння із коренем , який задовольняє систему. При отримуємо рівняння із стороннім коренем . Той факт, що один із коренів квадратного тричлена належить інтервалу , а другий не належить відрізку , запишемо у виді співвідношення або нерівності , звідки .

Останній випадок, який потрібно розглянути – це коли один із коренів дорівнює -3 або -6, а другий належить інтервалу . При дістаємо другий корінь , який є стороннім. При другий корінь дорівнює і задовольняє умову задачі. Знайдемо, при якому значенні буде цей випадок. Оскільки , то .

Відповідь. , а також .

Приклад 6. Знайти всі розв’язки рівняння

,

які належать відрізку .

Розв’язання. Оскільки , то задане рівняння можна записати у виді

.

На відрізку вираз , тому попереднє рівняння можна записати у виді або

.

Розглянемо наступні випадки.

1). Якщо тобто , то дістаємо два корені та , які задовольняють умову задачі.

2). Якщо тобто , то маємо один корінь .

3). У випадку, коли дане рівняння має корені, але вони не належать вказаному проміжку.

При інших значеннях рівняння розв’язків не має.

Відповідь. При два корені та ; при один корінь .

Приклад 7. При яких значеннях параметра нерівність

виконується при довільних х?

Розв’язання. Ввівши заміну , зведемо нерівність до виду

.

Якщо квадратний тричлен має два корені та ( < ), то розв’язки заданої нерівності можна шукати, як об’єднання розв’язків нерівностей та . Всю числову вісь у цьому випадку ми отримаємо, якщо обидва корені не додатні. Умовою цього є виконання співвідношень

,

тобто нерівності .

Якщо рівняння коренів не має, то нерівність теж виконується при довільних . У нашому випадку . Одержаний вираз завжди додатний, тому інших значень параметра ми не отримаємо.

Відповідь. .

Приклад 8. При якому найбільшому значенні параметра нерівність

має хоч один розв’язок?

Розв’язання. Очевидно, що при нерівність має розв’язки. При запишемо її у виді . Ліва частина нерівності, як сума двох обернених додатних чисел, не менша 2, а права частина не перевищує , причому дорівнювати 2 вона буде при . При значення правої частини менші 2 і нерівність розв’язків мати не буде. При нерівність має розв’язки, наприклад, .

Відповідь. .

Приклад 9. Дослідити, при яких значеннях параметра нерівність

має єдиний розв’язок.

Розв’язання. Виберемо графічний метод відшукання розв’язку. Зобразивши пряму та множину верхніх половинок парабол з вершинами у точках , можна зробити висновок, що розв’язок нерівності буде єдиним тільки у випадку дотику (рис. 1). Складемо рівняння дотичної до лінії , проведеної у точці , яка належить параболі. Оскільки

,

то рівняння дотичної запишеться у виді . Прирівнюючи коефіцієнти в одержаному рівнянні та у рівнянні , дістаємо систему

,

звідки знаходимо .

Відповідь. .

Завдання для самостійного розв’язання.

1. При яких значеннях параметра рівняння

має єдиний корінь?

2. При яких значеннях параметра рівняння має два корені?

3. При яких значеннях параметра рівняння має розв’язки?

4. При яких значеннях параметра рівняння має єдиний розв’язок?

5. Обчислити значення виразу при , знаючи, що .

6. Знайти всі значення параметра , при яких рівняння має розв’язки.

7. Знайти всі значення параметра , при яких рівняння має розв’язки.

8. Знайти кількість цілих значень параметра , при кожному з яких рівняння має розв’язки.

9. Розв’язати рівняння .

10. Розв’язати нерівність .

11. Розв’язати нерівність .

12. Обчислити , якщо .

13. При яких значеннях параметра рівняння та

рівносильні?

14. Знайти всі значення параметра ,при яких рівняння на проміжку має більше, ніж один розв’язок.

15. Розв’язати рівняння .

16. Розв’язати рівняння .

17. Розв’язати рівняння .

18. Розв’язати нерівність .

19. При яких значеннях параметра нерівність виконується при довільних ?

20. Розв’язати рівняння .

21. При яких значеннях параметра рівняння має розв’язки?

22. Скільки розв’язків має система рівнянь

у залежності від параметра а?

23. Розв’язати рівняння

.

24. При яких значеннях параметра сума квадратів усіх розв’язків рівняння дорівнює 34?

25. Знайти всі значення параметра а з інтервалу , при яких рівняння

має хоча б один розвязок на відрізку .

26. Розв’язати рівняння .

27. Розв’язати рівняння .

28. При яких значеннях параметра кожен розв’язок нерівності є розв’язком нерівності ?

29. Знайти вcі значення параметра а, при яких рівняння має хоч один розв’язок.

30. При яких значеннях параметра множина розв’язків нерівності

співпадає з проміжком ?

31. Розв’язати рівняння .

32. Розв’язати рівняння .

33. При яких значеннях параметра нерівність

виконується для довільного ?

34. Розв’язати рівняння .

35. При яких значеннях параметра нерівність виконується при довільних х?

36. При яких значеннях параметра нерівність виконується при довільних х?

37. Розв’язати рівняння .

38. Розв’язати нерівність .

39. Розв’язати нерівність .

40. Розв’язати рівняння .

41. Розв’язати нерівність .

42. При яких значеннях параметра відстань між коренями рівняння менша від ?