Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
МИХАЙЛО КОЦЮБИНСЬКИЙДата добавления: 2015-10-15; просмотров: 475
Теорема 1. Функция f(x) имеет конечный предел в точкетогда и только тогда, когда выполняется равенство: f(x)=А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке. Доказательство этой теоремы вытекает из определения предела функции в точке и определения бесконечно малой функции в точке. Теорема 2.Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке ,то существует конечный предел суммы этих функций в точке ,равный сумме пределов этих функций. Доказательство: Пусть , тогда по теореме 1 f(x)=А+a(x), где a(x)– бесконечно малая функция в точкеx0. Пусть, , тогда по теореме 1 g(x)=B+β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точкеx0.Рассмотрим сумму этих функций: f(x) + g(x) = = A + a(x) +B + β(x) = (A+B) + a(x) + β(x), обозначим γ(x) = a(x) + β(x) - бесконечно малая функция в точке x0(по свойству 1 бесконечно малых функций). Получим f(x)+g(x)=A+B+γ(x). По теореме 1: . Теорема доказана. Теорема 3.Если существуют конечные пределы двух функций f(x) и g(x) в точке ,то существуетпредел произведения этих функций в точке ,равный произведению пределов этих функций. Доказательство:Пусть =А, тогда по теореме 1: f(x)=А+a(x), где a(x) – бесконечно малая функция в точке .Пусть , тогда по теореме 1: g(x) = B + β(x), где β(x) – бесконечно малая функция в точке .Рассмотрим произведение этих функций: f(x) × g(x) = (А +a(x))(B + β(x)) = AB + B×a(x) + A×β(x) + a(x) ×β(x). Обозначим: B×a(x) + Aβ(x) + a(x)β(x) = γ(x) – бесконечно малая функция в точке (посвойствам бесконечно малых функций). Получим: f(x)×g(x) = A×B + γ(x). По теореме 1: . Теорема доказана. Теорема 4. Если существуют конечные пределы f(x) и g(x), причем , то существует предел частного этих функций в точке ,равный частному пределов этих функций. То есть: если существует =А и существует , B≠0, то существует . (Доказать самостоятельно) Теорема 5(о пределе трех функций) Если существуют равные конечные пределы функций f(x) и g(x) в точке : = А И при стремлении x к x0выполняется неравенство: , то существует . Доказательство. Возьмем любое e > 0. Вычитая из всех частей двойного неравенства, данного в условии, число A, получим (*) Так как , то найдется такое d1, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию , будет верно неравенство , или, что, то же, (*) Аналогично для функции g(x) найдется такое d2, что для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию будет верно неравенство (*) Из неравенств, отмеченных (*) следует, что , или, что, то же самое Для всех x ¹ x0, удовлетворяющих условию , где d - меньшее из d1 и d2. Это означает, что . Теорема доказана. 6. Первый замечательный предел Теорема 6.Предел функции в точке x = 0 существует и равен 1, то есть: . Доказательство:
1)Пусть x > 0 (x ) (1) ; ; (x – в радианах) Подставим в соотношение (1) полученные значения площадей: , , Так как все части двойного неравенства положительные, можно переписать так: Т.к. то по теореме 5: . 2)Пусть x<0 (x ) (по доказанному в первом случае) Следовательно, . Теорема доказана.
|