МИХАЙЛО КОЦЮБИНСЬКИЙ

Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 421

Определение 6. Точка x₀ называется точкой устранимого разрыва функции f(x), если предел функции в этой точке существует, но f(x) в точке x₀ либо не определена, либо имеет значение f(x₀), не совпадающее с найденным пределом:

f(x₀-0)= f(x₀+0) ¹ f(x₀).

Определение 7. Точка x₀ называется точкой разрыва первого рода функции f(x) (разрыв типа «скачка»), если в этой точке функция имеет конечные, но не равные между собой правый и левый пределы, то есть:

f(x₀-0) ¹f(x₀+0).

Определение 8. Точка x₀ называется точкой разрыва второго рода функции f(x), если в этой точке f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из односторонних пределов бесконечен.

Примеры. Исследовать функции на непрерывность и точки разрыва.

1.

Решение. На промежутке (-∞;-1) f(x)= -x+1, на (-1;1) и на (1;+∞) f(x) = x-1.

На этих промежутках f(x) элементарная функция, непрерывна при всех x, принадлежащих этим промежуткам. Необходимо проверить непрерывность в точках x= -1 и x=1.

1)

2)

Получили, что f(-1-0) ¹ f(-1+0) => x= -1 – точка разрыва f(x) I рода.

3)

4)

Получили, что f(1-0) = f(1+0) = f(1) = 0 => x = 1 – точка непрерывности функции f(x).

Ответ: f(x) непрерывна на (-∞;-1) и на (-1;+∞), точка x = -1 – точка разрыва I рода.

2.f(x) =

Решение. На промежутках (-∞;0) и на (0;+∞) f(x) непрерывна. Исследуем точку x=0 Ï D(f).

1)

2)

=> x=0 – точка разрыва f(x) II рода.

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ