Іnтеrмеzzo

Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 541

Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки x₀ (рис.5).

Рис. 5

Точка M₀(x₀;y(x₀)) – фиксированная точка графика y = f(x). Точка M(x₀+Dx;y(x₀+Dx)) при различных значениях Dx – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом Dx ®0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рассмотрим D M₀MA: tga_сек= , a_сек = угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при Dx ®0:

То есть y' (x₀) = tg a_кас => частное значение производной функции y = f(x) в точке x₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀;y(x₀)).

Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x₀;y₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y'(x₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M₀(x₀;f(x₀)):

y = f(x₀) + f' '(x₀)×(x-x₀)

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x₀;f(x₀)):

y = f(x₀) - ,

используя условие перпендикулярности прямых: K_норм = - .

Таблица производных основных элементарных функций

1)

Вывод: ;

2) ;

Вывод: ;

3)

Вывод: ;

(используется второй замечательный предел и свойства логарифма).

4)

Вывод: так как ln x = log_e x, то, используя производную, для (log_a x), можно записать:

5) (c)' = 0

Вывод: y = c, Dy = y(x+Dx) - y(x) = c-c = 0

Для остальных функций производные выводятся позже с помощью правил дифференцирования.

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' =0

2. (x^a) = a×x^a-1

3. (a^x)' = a^x×lna, (a>0, a # 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (log_ax)' = , (a>0; a # 1)

6. (lnx)' =

7. (sinx)' =cosx

8. (cosx)' = - sinx

9. (tgx)' =

10. (ctgx)' = -

11. (arcsinx)' =

12. (arccosx)' = -

13. (arctgx)' =

14. (arcctgx)' = -