Студопедія
рос | укр

Головна сторінка Випадкова сторінка


КАТЕГОРІЇ:

АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія






Весь світ був як казка, повна чудес, таємнича, цікава й страшна.


Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 486


Теорема 7.Степенная функция y = xa(aÎR) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

(xa)' = a ×xa-1.

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = xa, предполагая x>0:

ln y = a× ln x

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = xa неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y':

Подставим в полученное равенство y = xa:

Теорема доказана.

 

Теорема 8. Показательная функция y=ax (a>0, a #1) дифференцируема при любом xÎR и справедлива формула:

(ax)' = ax × lna

Доказательство. Прологарифмируем равенство y = ax:

lny = x lna.

Получили уравнение от x и y, задающее функцию y = ax неявно. Найдем производные от обеих частей равенства:

Выразим отсюда y': y' = y × lna.

Подставим в полученное равенство y = ax :

(ax)'= ax × lna

Теорема доказана.

Замечание. В частном случае, при a = e полученная формула в теореме 8 принимает вид:

(ex)' = ex × lne или (ex)' = ex.

Теорема 9. Если функции U(x) и V(x) дифференцируемы в точке x, то показательно-степенная функция y = (U(x))V(x) дифференцируема в точке x и справедлива формула:

((U(x))V(x))' = (U(x))V(x) × V' (x) lnU(x) + U' (x) × V(x) ×(U(x))V(x)-1.

Доказательство можно выполнить с помощью логарифмирования равенства y=(U(x))V(x) по основанию e и дальнейшего дифференцирования обеих частей полученного равенства.

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Іnтеrмеzzo | Тут Іван сів одпочити.
<== 1 ==> | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.17 сек.) російська версія | українська версія

Генерация страницы за: 0.17 сек.