Студопедія
рос | укр

Головна сторінка Випадкова сторінка


КАТЕГОРІЇ:

АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія






Тут Іван сів одпочити.


Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 454


 

Теорема 1. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, то есть для любых xÎ[a;b] выполняется неравенство:

m ≤ f(x) ≤ M.

 

Теорема 2. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна, то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [a;b], найдется хотя бы одна точа хо, в которой выполняется равенство:

f(хо) = С.

 

Теорема 3. Если функция f(x) на отрезке [a;b] непрерывна и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка хоÎ(a;b), в которой выполняется равенство:

f(хо) = 0.

 

Теорема 4 (теорема Ролля)

Если функция f(x) определена на [a;b] и выполнены следующие условия:

1. f(x) непрерывна на [a;b];

2. f(x) дифференцируема на (a;b);

3. f(a) = f(b),

то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка хо, в которой выполняется равенство:

f ' (хо) = 0.

Доказательство.Так как f(x) непрерывна на [a;b], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.

Возможны два случая:

1) m = M,

2) m < M.

1) Если m = M, то f(x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î (a;b).

Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве хо можно рассматривать любое значение x Î (a;b).

2) Если m < M, то, исходя из условия f(a) = f(b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f(a) = f(b). Для определенности предположим, что M – наибольшее значение f(x) достигается не на концах отрезка [a;b], а в некоторой внутренней точке хо Î (a;b). Тогда в точке хо для приращения функции справедливо неравенство: Dy = f(хо + Dx) - f(хо) ≤ 0, так как f(хо) = M – наибольшее значение f(x) на [a;b] и D x такое, что хо + D x Î [a;b].

· Если D x > 0, то и существует

· Если D x < 0, то и существует

Так как по условию теоремы функция f(x) дифференцируема при xÎ (a;b), то b в точке хо существует производная. Значит справедливы равенства:

f ' (хо +0) = f ' (хо -0) = f ' (хо) = 0.

Теорема доказана.

 

Геометрический смысл теоремы Ролля

С геометрической точки зрения терема Ролля означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b], дифференцируемой на интервале (a;b) и принимающей на концах отрезка равные значения, имеет хотя бы одну точку (хо ; f (хо)), где хоÎ (a;b), в которой касательная параллельна оси Ox (рис.7)

Рис. 7

Теорема 5 (теорема Лагранжа).

Если функция f(x) определена на [a;b] и выполнены следующие условия:

1) f(x) непрерывна на отрезке [a;b],

2) f(x) дифференцируема на интервале (a;b), то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка хо, в которой выполняется равенство:

f ' (хо) = .

Доказательство:Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) + l×x, где l = const. Потребуем, что бы для F(x) выполнялось условие F(a) = F(b).

Так как F(a) = f(a) + l × a; F(b) = f(b) + l ×b, то получим равенство:

f(a) + l × a = f(b) + l × b.

Отсюда выразим значение l:

l = - .

При этом значении l функция F(x) = f(x) - .

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:

F(x) непрерывна на [a;b]:

F(x) дифференцируема на (a;b)

F(a) = F(b).

Следовательно, по теореме Ролля на (a;b) существует хотя бы одна точка хо, в которой выполняется равенство:

F ' (хо) = 0.

Найдем F '(x):

F ' (x) = f '(x) -

Поэтому F ' (x) = f ' (хо) -

=> f ' (хо) =

Теорема доказана.

 

Геометрический смысл теоремы Лагранжа

С геометрической точки зрения теорема Лагранжа означает, что график функции, непрерывной на отрезке [a;b] и дифференцируемой на интервале (a;b), имеет хотя бы одну точку (хо;f(хо), в которой касательная параллельна секущей, проходящей через точки A(a;f(a)) и B(b;f(b)) (рис.8)

 

Рис. 8

Теорема 6 (теорема Коши).

Если функции f(x) и g(x) определены на отрезке [a;b] и удовлетворяют условиям:

1) f(x) и g(x) непрерывны на [a;b];

2) f(x) и g(x) дифференцируемы на (a;b);

3) g ' (x) ¹ 0 при любом x Î (a;b),

то внутри отрезка [a;b] найдется хотя бы одна точка хо, в которой выполняется равенство:

Доказательствоаналогично доказательству теоремы 5 при вспомогательной функции

F(x) = f(x) + l × g(x),

где l = const, которую выбирают так, чтобы F(a) = F(b).

 

Теорема 7 (правило Лопиталя).

Если функции f(x) и g(x) определены в некоторой окрестности точки хо и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:

1) f(x) и g(x) дифференцируемы в каждой точке, за исключением, может быть, самой точки хо;

2) g ' (x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;

3) или

тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:

= .

Замечание 1.Это правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей типа или , возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределенность другого типа: 0×∞, ∞ - ∞, 10, 00 или ∞0, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределенность приводится к или , а затем можно применить правило Лопиталя.

 

Замечание 2.Если к условиям теоремы 6 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g'(x) в окрестности точки хо, то при выполнении остальных требований для f'(x) и g'(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:

= =

 

Пример 1. Вычислить предел:

Пример 2. Вычислить предел:

Пример 3. Вычислить предел:

Пример 4. Вычислить предел:

.

Пример 5. Вычислить предел:

Пример 6. Вычислить предел:

 

 


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Весь світ був як казка, повна чудес, таємнича, цікава й страшна. | Незабаром Іван побачив стрічу ворожих родів.
1 | <== 2 ==> | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.133 сек.) російська версія | українська версія

Генерация страницы за: 0.133 сек.