Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Любчику Іванку! Ци будемо в парі усе?Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 859
1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений x, при которых y = f(x) имеет смысл.
2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T, что f(x+T) = f(x) для любого xÎ D(f). Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить ее график только на некотором отрезке длиной периода T. Затем продолжить график на всю область определения, разбивая ее на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.
3) Исследовать функцию на четность и нечетность: выяснить, выполняются ли равенства: f(-x) = f(x) для любого xÎ D(f) – четность, или f(-x) = -f(x) для любого xÎ D(f) – нечетность. Это позволяет узнать есть ли симметрия графика: относительно оси Oy – четная или относительно начала координат – нечетная. 4) Найти точки пресечения графика функции с осями координат: а) с осью Oy: точка (0;f(o)), если OÎD(f), б) с осью Oy: точка (xk;0), где xkÎD(f) и является решением уравнения f(x) = 0.
5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f(x) > 0 (при этом график функции расположен выше оси Ox) и f(x) < 0 (при этом график функции расположен ниже оси Ox).
6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва (см. §6, п.1).
7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1).
8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6, п.2 и п.3).
9) Найти множество E(f) значений функции.
10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика (см. §6, п.4).
11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам. Пример. Исследовать функцию y = (x+2)e-x и построить ее график. 1) D(y) = R. 2) Функция не периодическая. 3) Так как y(-x) # y(x) и y(-x) # -y(x), то функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной. 4) Точка пересечения графика с Ox : (-2;0), с Oy : (0;2) 5) При x Î (-¥;-2) функция отрицательная, при x Î (-2;+¥) функция положительная. 6) Функция непрерывна при x Î R. 7) Вертикальных асимптот нет. Наклонные асимптоты: y = kx + b. а) k=0 при x®+¥ . b=0 при x®+¥. Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при x®+¥.
б) при x®-¥ наклонной асимптоты нет. 8) f’(x) = ((x+2)e-x)’ = 1×e-x+(x+2)×(-e-x) = e-x(1-x-2) = -(x+1)e-x. D(y’) = R. y’ = 0: -(x+1)e-x = 0 Þ x = -1, f(-1) = 1×e1 = e.
при x Î (-¥;-1) f(x) возрастает, при x Î(-1;+¥) f(x) убывает, при x = -1 fmax (-1) = (-1+2)e-(-1) = e. 9) E(f) = (-¥;e), так как и fmax (-1) = e. 10) f”(x) = (-(x+1)e-x)’ = -1e-x+(x+1)e-x = e-x(x+1-1) = xe-x. D(f”) = R f”(x) = 0 : xe-x = 0 Þ x = 0, f(0) = 2.
при x Î (-¥;0) график f(x) выпуклый при x Î (-(0;+¥) график f(x) вогнутый Точка (0;2) – точка перегиба графика. 11) Сведем результаты проведенного исследования в таблицу и построим график (рис. 12)
Рис. 12
|