Студопедія
рос | укр

Головна сторінка Випадкова сторінка


КАТЕГОРІЇ:

АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія






Любчику Іванку! Ци будемо в парі усе?


Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 469


1) Найти область определения функции y = f(x) – множество D(f) тех значений x, при которых y = f(x) имеет смысл.

 

2) Исследовать функцию на периодичность: выяснить, существует ли наименьшее положительное число T, что

f(x+T) = f(x) для любого xÎ D(f).

Если «да», то целесообразно далее исследовать функцию и строить ее график только на некотором отрезке длиной периода T.

Затем продолжить график на всю область определения, разбивая ее на интервалы длины T, в которых повторяется картинка графика.

 

3) Исследовать функцию на четность и нечетность: выяснить, выполняются ли равенства:

f(-x) = f(x) для любого xÎ D(f) – четность,

или f(-x) = -f(x) для любого xÎ D(f) – нечетность.

Это позволяет узнать есть ли симметрия графика:

относительно оси Oy – четная

или относительно начала координат – нечетная.

4) Найти точки пресечения графика функции с осями координат:

а) с осью Oy: точка (0;f(o)), если OÎD(f),

б) с осью Oy: точка (xk;0), где xkÎD(f) и является решением уравнения f(x) = 0.

 

5) Найти промежутки знакопостоянства: выяснить, при каких x Î D(f) выполняются неравенства f(x) > 0 (при этом график функции расположен выше оси Ox) и f(x) < 0 (при этом график функции расположен ниже оси Ox).

 

6) Исследовать функцию на непрерывность, установить тип точек разрыва (см. §6, п.1).

 

7) Найти вертикальные и наклонные асимптоты (см. §6, п.1).

 

8) Найти промежутки убывания и возрастания, экстремумы функции (см. §6, п.2 и п.3).

 

9) Найти множество E(f) значений функции.

 

10) Найти промежутки выпуклости, вогнутости и точки перегиба графика (см. §6, п.4).

 

11) Построить график функции, используя свойства, установленные в проведенном исследовании. Если в некоторых промежутках график остался неясным, то его уточняют по дополнительным точкам.

Пример. Исследовать функцию y = (x+2)e-x и построить ее график.

1) D(y) = R.

2) Функция не периодическая.

3) Так как y(-x) # y(x) и y(-x) # -y(x), то функция общего вида, не является ни четной, ни нечетной.

4) Точка пересечения графика

с Ox : (-2;0), с Oy : (0;2)

5) При x Î (-¥;-2) функция отрицательная,

при x Î (-2;+¥) функция положительная.

6) Функция непрерывна при x Î R.

7) Вертикальных асимптот нет.

Наклонные асимптоты: y = kx + b.

а)

k=0 при x®+¥

.

b=0 при x®+¥.

Следовательно, y = 0 – наклонная (горизонтальная) асимптота при x®+¥.

 

б)

при x®-¥ наклонной асимптоты нет.

8) f’(x) = ((x+2)e-x)’ = 1×e-x+(x+2)×(-e-x) = e-x(1-x-2) = -(x+1)e-x.

D(y’) = R.

y’ = 0: -(x+1)e-x = 0 Þ x = -1, f(-1) = 1×e1 = e.

 

 

при x Î (-¥;-1) f(x) возрастает,

при x Î(-1;+¥) f(x) убывает,

при x = -1 fmax (-1) = (-1+2)e-(-1) = e.

9) E(f) = (-¥;e), так как

и fmax (-1) = e.

10) f”(x) = (-(x+1)e-x)’ = -1e-x+(x+1)e-x = e-x(x+1-1) = xe-x.

D(f”) = R

f”(x) = 0 : xe-x = 0 Þ x = 0, f(0) = 2.

 

 

при x Î (-¥;0) график f(x) выпуклый

при x Î (-(0;+¥) график f(x) вогнутый

Точка (0;2) – точка перегиба графика.

11) Сведем результаты проведенного исследования в таблицу и построим график (рис. 12)

x -¥;-1 -1 -1;0 0;+¥
знак f’(x) + - - -
знак f”(x) - - - +
F(x)   e    

 

Рис. 12


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Марічка перша змерзала і пускалася бігти. | Заклавши в одвірки скалку, двоє людей перетягали ремінь, від чого скалка крутилась й скрипіла.
1 | 2 | 3 | 4 | <== 5 ==> | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 |
Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.124 сек.) російська версія | українська версія

Генерация страницы за: 0.124 сек.