Студопедія
рос | укр

Головна сторінка Випадкова сторінка


КАТЕГОРІЇ:

АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія






На безоружного з бартков не йду!..


Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 439


Теорема 5. Пусть функция f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и пусть функция x = j (t) имеет непрерывную производную j '(t) на отрезке [a;b], область значений этой функции – отрезок [a;b], то есть a £ j (t) £ b для x tÎ [a;b], причем j (a) = a, j (b) = b.

Тогда справедливо равенство:

.

Доказательство. Так как f (x)непрерывна на [a;b], то существует определенный интеграл и справедлива формула Ньютона-Лейбница:

(1)

где F(x) – одна из первообразных f (x) на [a;b].

Известно, что F(x) дифференцируема в любой точке [a;b], причем

F'(x) = f (x) для любого xÎ [a;b].

Так как функция x = j (t) непрерывна на [a;b] и множество ее значений совпадает с отрезком [a;b], то сложные функции f(j(t)) и F(j(t)) непрерывны в любой точке t Î [a;b].

Так как j ' (t) непрерывна на [a;b], то функция f(j(t)) × j ' (t) тоже непрерывна на [a;b], а значит существует интеграл:

.

Покажем, что функция F(j(t)) является первообразной для . Действительно, (F(j (t)))'t = F'(x j '(t) = f (x j' (t) = f (j (t))× j' (t) для любого t Î [a;b]. Поэтому можно к этому интегралу применить формулу Ньютона-Лейбница:

(так как j (b) = b и j (a) = a). (2)

Сравнивая результаты (1) и (2) приходим к равенству:

.

Пример 3.

Ответ:

Пример 4.

 

Ответ:

Интегрирование по частям в определенном интеграле

Теорема 6. Пусть функции u(x) и V(x) имеют непрерывные производные на [a;b]. Тогда справедливо равенство:


<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Але хмара тільки моргнула зневажливо лівим крилом і почала завертати направо, понад царинки. | Давно я мала тебе спитати: за що ти вдарив мене в лице? Тоді, пам'ятаєш, як билась стариня наша, а я тремтіла під возом, бачачи кров...
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | <== 15 ==> | 16 | 17 | 18 | 19 |
Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.125 сек.) російська версія | українська версія

Генерация страницы за: 0.125 сек.