Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
CONTENTSДата добавления: 2015-10-18; просмотров: 506
В случае плоского напряженного состояния равными нулю будут также коэффициент и один из корней характеристического уравнения (4.17), то есть одно из главных напряжений обращается в нуль. При этом уравнение (4.17) перейдет в следующее
, (4.19)
корни которого определяются равенствами
. (4.20)
В случае линейного напряженного состояния два главных напряжения будут равны нулю, т. е. в уравнении (4.14) коэффициенты . Главные напряжения обладают важным свойством: нормальные напряжения на главных площадках принимают экстремальные значения. Теперь докажем ортогональность главных площадок. Сначала это сделаем для первой и второй главных площадок. Пусть направляющие косинусы первой главной площадки будут , а второй - . Выпишем уравнения (4.15) для первой и второй главных площадок в виде
(4.21) , . Далее поступим следующим образом. Умножим уравнения (4.21) первой группы соответственно на , а уравнения второй группы - на , а затем сложим все уравнения первой группы и отдельно второй. Вычитая из первой суммы вторую, получаем
. (4.22)
Из анализа уравнения (4.22) видно, что при . Последнее равенство и есть условие ортогональности первой и второй главных площадок. Аналогично доказывается ортогональность других главных площадок. Напряжения на косых площадках при плоском напряженном состоянии Рассмотрим напряженное состояние пластинки толщиной , находящейся под действием сил Р, лежащих в плоскости пластинки (рис. 4.6). Будем считать, что под действием внешних сил пластинка находится в плоском напряженном состоянии, значит . В выделенном элементе пластинки напряжения , и лежат в одной плоскости, поэтому напряженное состояние и называется плоским. Пусть заданы напряжения на площадках и элемента ABC. Надо определить нормальные напряжения и касательные на площадке BC, нормаль к которой составляет угол с осью x. Массовыми силами, действующими на элемент ABC, пренебрегаем. В случае плоского напряженного состояния тензор напряжений примет вид
. Рис. 4.6. К определению напряжений на косых площадках
Величины и определим из условия равновесия элемента ABC, составив соответствующие уравнения в проекциях на оси и . Опуская промежуточные математические выкладки, окончательно получим , (4.23) . (4.24) Если аналогично вычислить напряжения на площадке, нормаль к которой r перпендикулярна вектору нормали , то получим
, (4.25) . (4.26) Полученные формулы позволяют выявить важные закономерности. Так, складывая (4.23) и (4.25), имеем . (4.27) Видно, что сумма нормальных напряжений на произвольных взаимно перпендикулярных площадках при их повороте не меняется. Сопоставляя (4.24) и (4.26), видим , (4.28) т. е. касательные напряжения, действующие на произвольных взаимно перпендикулярных площадках, подчиняются закону парности. Положение главных площадок (касательные напряжения равны нулю) можно найти из (4.24) или (4.26), полагая или , следовательно , (4.29) где — угол, который составляет нормаль или главной площадки с осью . Можно показать, что при заданных значениях , и на некоторых известных взаимно перпендикулярных площадках, нормальные напряжения на главных площадках определяются соотношением (см. формулу (4.20))
. (4.30) Обратная задача - если известны главные напряжения , то формулы для определения напряжений на наклонных площадках примут вид , , (4.31) . Тема 5. Основы теории деформированного состояния. Объемная деформация. Обобщенный закон Гука
|