Головна сторінка Випадкова сторінка КАТЕГОРІЇ: АвтомобіліБіологіяБудівництвоВідпочинок і туризмГеографіяДім і садЕкологіяЕкономікаЕлектронікаІноземні мовиІнформатикаІншеІсторіяКультураЛітератураМатематикаМедицинаМеталлургіяМеханікаОсвітаОхорона праціПедагогікаПолітикаПравоПсихологіяРелігіяСоціологіяСпортФізикаФілософіяФінансиХімія |
Розв’яжіть системи рівнянь матричним способомДата добавления: 2014-11-10; просмотров: 3041
| |
| Відповіді | ||
| №1 (0;5;-1); (5;4;3). №2 (0;4;-1); (1;-2;5) №3 (1;2;-1); (-3;2;1) |
| Прямокутна декартова система координат у просторі | |
| Три взаємно перпендикулярні осі Ох, Оу, Оz, які мають спільний початок точку О і однакову масштабну одиницю, утворюють прямокутну декартову систему координат у просторі. Осі Ох, Оу, Оz називаються відповідно осями абсцис, ординат і аплікат, точка О — початок системи координат. Упорядкована трійка чисел (х,у,z), що відповідає точці М простору, називається координатами точки М у просторі, це позначають М(х,у,z). Частковим випадком просторової системи координат є система координат на площині, утворена осями Ох і Оу. Кожній точці М площини відповідає впорядкована пара чисел (x, y), які називаються координатами точки М на площині, це позначають М(х,у). |
|
| Поняття вектора | |
Вектором називають величину, яка характеризується не тільки своїм числовим значенням (довжиною), але й напрямком.
Геометрично вектор зображають як напрямлений відрізок.
Вектори позначають  або  .
При позначенні вектора двома літерами перша літера вказує точку початку вектора, а друга – точку його кінця.
Довжину (модуль) вектора позначають так:  ,  .
| 
|
| Види векторів | |
Нульовим вектором називають вектор, початок і кінець якого співпадають.
Такий вектор позначають  , його довжина дорівнює нулю, а напрям – довільний.
|
|
Рівними називають вектори, які мають однакові довжини та напрямки:  .
| 
|
| Колінеарними називають вектори, які розташовані на одній прямій або паралельних прямих. Колінеарні вектори поділяються на співнапрямлені і протилежно напрямлені. | 
|
Протилежниминазивають вектори, рівні за модулем, але протилежні за напрямом.
Вектор, протилежний вектору  позначають  .
| 
|
| Проекція вектора на вісь | |
Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор  . Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l . Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно  і  .
Проекцією вектора на вісь l називається довжина  напрямленого відрізка  на осі l.
При цьому  , якщо напрям збігається з напрямом l і  , якщо напрям протилежний напряму l.
Формула для знаходження проекції вектора  на вісь l : прl =  , де  — кут між вектором і віссю.
| 
|
| Координати і довжина вектора у просторі | |
Координатами вектора називаються проекції вектора на осі координат.
Якщо задати в системі координат точки А (х1, у1, z1) початку вектора та його кінця В (х2, у2, z2), то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:
Ох: ах = х2 – х1,
Оу: ау = у2 – у1,
Оz: аz = z2 – z1.
Таким чином, координати вектора дорівнюють різниці відповідних координат кінця та початку вектора.
Якщо  - одиничні вектори осей координат, то вектор можна розкласти за цими векторами, тобто подати у вигляді: 
Довжина вектора, заданого координатами, обчислюється за формулою:
| Нехай дано вектор з початком у точці А(2,-3,0) і кінцем у точці В(1,1,2).
Знайдемо координати вектора, віднявши від координат точки В координати точки А.
Одержимо:  (1-2; 1+3; 2-0) , звідси (-1; 4; 2).
Даний вектор можна записати таким чином:
Довжина вектора дорівнює:
|
| Напрямні косинуси вектора | |
Нехай задано координати вектора у просторі (ах, ау, аz), який утворює з осями координат кути  тоді справедливими є формули:
ах = | |  , аy = | |  ,
аz = | |  .
Косинуси кутів, утворених векторами з осями координат, називаються напрямними косинусами вектора .
З попередніх формул маємо:
 .
Для напрямних косинусів даного вектора виконується формула:
cos2a + cos2b + cos2g = 1.
|
Знайдемо напрямні косинуси вектора  , якщо відомо:
M(1, 2, 3) і N(3, -4, 6).
Спочатку знайдемо координати даного вектора:
 (3-1; -4-2; 6-3), (2; -6; 3).
Довжина вектора дорівнює:
 Тоді шукані напрямні косинуси дорівнюють:
 ;  ;  .
Перевіримо справедливість формули для напрямних косинусів вектора :
|
| Лінійні операції над векторами | |
Сумою двох векторів та  називають вектор  , який сполучає початок вектора з кінцем вектора при умові, що початок вектора вміщено в кінець вектора .
Наведене правило додавання векторів називається правилом трикутника, а його узагальнення для кількох векторів – правилом многокутника.
Існує також правило паралелограма, згідно з яким сумою двох неколінеарних векторів, що виходять з однієї точки, є діагональ паралелограма, побудованого на цих векторах, яка виходить зі спільного початку векторів.
Властивості додавання векторів:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  .
Різницюдвох векторів та будують як суму вектора та вектора (- )
Правило знаходження алгебраїчної суми векторів: координати алгебраїчної суми скінченної кількості векторів дорівнюють такій же алгебраїчній сумі відповідних координат цих векторів.
Так, у випадку трьох векторів простору  ,  ,  координати їх алгебраїчної суми  знаходяться за формулою:
=  .
|
Знайдемо суму та різницю векторів  і  .
Нехай  . Тоді, виконавши додавання відповідних координат даних векторів, матимемо:
 ; звідси  .
Аналогічно для знаходження координат вектора різниці  віднімемо відповідні координати даних векторів:  ; звідси маємо  .
|
Добутком вектора на число λ≠0 називають вектор  , колінеарний з вектором , що має довжину  та напрям такий самий, як , якщо λ > 0, і протилежний до , якщо λ < 0.
Властивості множення вектора на число (скаляр):
1)  ;
2)  .
Правило множення вектора на число: щоб помноживши вектор  на число λ, потрібно усі координати вектора помноживши на число λ, тобто λ 
| 
Нехай дано вектори  і  . Знайдемо координати вектора  і його довжину.
Скориставшись правилом мно-ження вектора на число одержимо:  ;  .
Знайдемо координати вектора  за правилом віднімання векторів:
 ;  .
Довжина вектора дорівнює:
|
| Скалярний добуток векторів та його застосування | |
Скалярним добутком двох ненульових векторів  і  називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними.
Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю.
 , де j - кут між векторами
Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:
 .
Скалярний добуток двох векторів і  дорівнює сумі добутків їх однойменних координат, тобто 
Властивостіскалярного добутку:
1)  ;
2)  ;
3)  ;
4)  .
З формул для обчислення скалярного добутку випливає:
1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярностідвох ненульових векторів і є рівність нулю їх скалярного добутку, тобто
ах bх + ау bу + аz bz = 0.
2. Кут між двома ненульовими векторами і можна знайти за формулою:
 .
| 1) Вектори  і  утворюють кут  . Знайдемо скалярний добуток цих векторів, якщо відомо, що  , а  .
Обчислимо скалярний добуток за формулою . Тоді  .
2) Знайдемо скалярний добуток векторів  і  .
Підставивши координати векторів у формулу  , матимемо:
Знайдемо кут між діагоналями паралелограма, побудованого на векторах  (2; 1; 0) та  (0; -2; 1).
Маємо паралелограм АВСD, де    .
Діагоналі паралелограма АВСD зображені векторами  та  . Знайдемо координати цих векторів:
 (2+0; 1+(-2); 0+1); (2; -1; 1);
 (2-0; 1-(-2); 0-1); (2; 3; -1).
Обчислимо косинус кута  між діагоналями паралелограма:
З рівності  випливає, що  , тобто діагоналі даного паралелограма взаємно перпен-дикулярні.
|
| Векторний добуток векторів та його застосування | |
Векторним добутком вектора на вектор називається вектор  , для якого виконуються умови:
1) довжина вектора  , де j — кут між двома векторами;
2) вектор  перпендикулярний до кожного з векторів і 
3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Властивостівекторного добутку:
1)  , якщо і - ненульові колінеарні вектори;
2)  ;
3)  ;
4)  .
Знаходження векторного добуткудвох векторів і , заданих у координатній формі, виконується за формулою:
Геометричні застосування векторного добутку:
1. Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і , як на сторонах.
2. Площа трикутника, побудованого на векторах  і  , дорівнює половині модуля векторного добутку даних векторів:
| 
1) Знайдемо векторний добуток векторів  і  .
Використавши формулу розкладу визначника за першим рядком, матимемо:
Таким чином, векторний добуток даних векторів  .
2) Визначимо площу трикутника АВС, заданого вершинами:
А(-1; 4; 0), В(4; 6; 7), С(0; 6; 4).
Знайдемо спочатку координати векторів, що зображають дві сторони трикутника, наприклад:
(4-(-1); 6-4; 7-0); (5; 2; 7);
 (0-(-1); 6-4; 4-0); (1; 2; 4).
Обчислимо площу трикутника, побудованого на векторах = (5; 2; 7) та = (1; 2; 4), як на сторонах.
Знайдемо векторний добуток векторів  і  :
Модуль векторного добутку дорівнює  , тому шукана площа трикутника
 (кв.од.)
|
| Мішаний добуток векторів та його застосування | |
Мішаним добутком векторів  називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто  .
Геометричний зміст мішаного добутку: якщо вектори , і  не лежать в одній площині, то модуль їх мішаного добутку дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на цих векторах.
Знаходження мішаного добуткувекто-рів , і  , заданих у координатній формі, виконується за формулою:
Властивостімішаного добутку:
1)  .
2)  .
Вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині чи паралельні одній площині.
Умова компланарності:три ненульові вектори простору будуть компланарними тоді і тільки тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулю:
 .
|
1) Обчислимо об’єм паралеле-піпеда, побудованого на трьох векторах:  ;  ;  .
Знайдемо мішаний добуток даних векторів:
 Отже, об’єм паралелепіпеда дорівнює 14(куб. од.)
2) Перевіримо, чи будуть вектори  ,  ,  компланарними.
Для цього знайдемо мішаний добуток векторів:
 Оскільки мішаний добуток дорівнює нулю, то дані вектори компланарні.
|
| Формули аналітичної геометрії на площині | |
Відстань між двома точками
Нехай задано дві точки:
М1(х1, у1) і М2(х2, у2).
Тоді відстань між даними точками обчислюється, як довжина відрізка, що сполучає ці точки, тобто
| 
Дано координати вершин трикутника:
А (1; 1), В (-5; 4), С (-2; 5).
Знайдемо довжини його сторін за формулою відстані між точками:
 ,  
|
Поділ відрізка у заданому відношенні
Число l називається відношенням, у якому точка М ділить відрізок М1М2, якщо  .
Якщо відоме відношення l і координати точок  і  , невідомі координати точки М (х, у) можна знайти за формулами:
 ;  .
У випадку, якщо дана точка М(х,у) є серединою відрізка М1М2, то l = 1 і формули набирають вигляду:
 .
| 
Дано координати вершин трикутника:
А (4; 1), В (7; 5), С (– 1; 3).
Знайдемо довжину його медіани АМ.
Враховуючи, що точка М – це середина відрізка ВС, її координати:
 .
Довжину медіани знайдемо, підставивши у формулу відстані між точками координати точок А (4; 1) та М (3; 4).
Одержимо:
 .
|
| Завдання для самоперевірки | |
| 1. Дайте означення вектора. 2. Сформулюйте правило виконання додавання векторів, множення вектора на скаляр (аналітично і графічно). 3. Запишіть основні властивості дій над векторами. 4. Запишіть формули для знаходження у просторі: - координат вектора; - відстані між точками; - координат точки, що поділяє відрізок у заданому відношенні. 5. Запишіть формули для знаходження напрямних косинусів даного вектора простору. Яка умова виконується для напрямних косинусів? 6. Дайте означення, вкажіть формулу для обчислення і особливості застосування скалярного, векторного та змішаного добутків. | |
№1. Дано вершини трикутника А (3, 2); В (–1, –1); С (11, –6). Знайдіть довжини сторін трикутника і точку перетину його медіан (у точці перетину медіани трикутника поділяються у відношенні 2:1, починаючи від вершини).
№2. Знайдіть кут між векторами  і  , якщо
 .
№3. Виконайте перевірку на компланарність векторів  :
 .
№4. Обчисліть площу паралелограма, побудованого на векторах 
№5. Обчисліть об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах  .
| |
| Відповіді | |
№1.АВ=5; ВС=13; АС=  ;  .
№2. 180°.
№3.Вектори компланарні.
№4.  кв. од.
№5. 25 куб. од.
|
| Рівняння прямої на площині | |
| Рівняння F (x, y) = 0 називається рівнянням лінії в заданій системі координат, якщо це рівняння задовольняють координати (х, у) будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і не задовольняють координати жодної точки, що не лежить на цій лінії. | |
Рівняння прямої із заданим кутовим коефіцієнтом k має вигляд:
у = kx + b,
де k = tg a - тангенс кута нахилу прямої до додатного напряму осі абсцис;  -початкова ордината–значення  при  .
Якщо відомі координати двох точок прямої  і  , то формула для знаходження кутового коефіцієнта має вигляд:  .
| 
Знайдемо кутовий коефіцієнт прямої АВ, якщо відомо дві точки прямої А(2, – 3) і В (5, 1).
Маємо:  .
|
| Рівняння прямої, що проходить через задану точку М1 (х1, у1) має вигляд: у – у1 = k (х – х1) | 
|
Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки  і  , має вигляд:  .
| 
Дано вершини трикутника АВС: А (1; -1), В (-5; 2), С (-2; 3). Складемо рівняння його сторони ВС.
Маємо рівняння прямої, що проходить через дві точки В і С:
 ;  ;
 ;  ;
 .
|
Рівняння прямої, що проходить через задану точку  перпендикуляр-но до даного вектора  , має вигляд:
 .
Вектор називається вектором нормалі до даної прямої.
| 
Знайдемо рівняння висоти ВН трикутника АВС:
А (1; -1), В (-5; 2), С (-2; 3).
Оскільки висота ВН перпендикулярна стороні АВ, знайдемо координати вектора  , який є нормальним вектором для прямої ВН:
 ;  .
Підставивши координати точки В і вектора у рівняння  , одержимо:  , або після спрощення  ;  .
|
Рівняння прямої, що проходить через задану точку  паралельно до даного вектора  , має вигляд:  .
Вектор називається напрямним вектором для даної прямої.
| 
Нехай дано трикутник АВС:
А(-3; 6); В(4; -1); С(-3; -5).
Складемо рівняння прямої  , що проходить через вершину А паралельно стороні ВС.
Оскільки пряма паралельна стороні ВС, знайдемо координати вектора  , який є напрямним вектором для прямої :
 ;  .
Підставивши координати точки А і вектора у рівняння  , маємо  , або після спрощення  ;  .
|
Рівняння прямої у відрізках на осях має вигляд:  , де а – абсциса точки на осі Ох,  – ордината точки на осі Оу, через які проходить пряма.
| 
|
У прямокутній системі координат пряма лінія задається рівнянням першого степеня відносно х і у
Ах + Ву + С = 0,
яке називається загальним рівнянням прямої лінії.
Розглянемо окремі випадки цього рівняння.
1. С = 0, А ¹ 0, В ¹ 0, тоді Ах + Ву = 0 - рівняння визначає пряму, що проходить через початок координат, оскільки точка О (0, 0) лежить на цій прямій.
2. В = 0, А ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ах + С = 0, або  , де а — абсциса точки прямої на осі Ох. Пряма розміщена паралельно осі Оу.
Якщо ж С = 0, то х = 0 - рівняння осі Оу.
3. А = 0, В ¹ 0, С ¹ 0, тоді Ву + С = 0, або  , де b — ордината точки прямої на осі Оу. Пряма розміщена паралельно осі Ох.
Якщо С = 0, одержимо рівняння осі Ох у = 0.
| 
Нехай дано пряму, задану рівнянням 3х – 5у + 15 = 0.
1) Перевіримо, які з точок
А (– 2; 3), В (0; 3), С (5; 6),
належать заданій прямій.
2) Перетворимо дане рівняння у рівняння з кутовим коефіцієнтом і у відрізках на осях.
1) Для перевірки того, чи належать точки А, В, С даній прямій, підставимо їхні координати у рівняння прямої:
А: 3 (– 2) – 5 · 3 + 15 ¹ 0,
В: 3 · 0 – 3 · 5 + 15 = 0, С: 3 · 5 – 5 · 6 + 15 = 0.
Таким чином, точка А не належить даній прямій, а точки В і С належать цій прямій.
2) Поділимо рівняння прямої почленно на коефіцієнт при у:  , а потім виразимо змінну у через х, тобто запишемо рівняння у вигляді  . Маємо рівняння з кутовим коефіцієнтом.
Поділивши рівняння почленно на вільний член:  , або  , дістанемо шукане рівняння у відрізках на осях.
|
| Кут між прямими, умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині | |
Розглянемо дві прямі на площині, задані рівняннями з даним кутовим коефіцієнтом
l1: у = k1x + b1 і l2: y = k2 x + b2.
Кутом між прямими l1 і l2 називається такий кут j, поворот на який від першої прямої до другої відносно точки їх перетину до суміщення цих прямих відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.
Так як tg a1 = k1; tg a2 = k2, а j = a2 – a1, маємо:  . Таким чином, формула для знаходження кута між прямими має вигляд:  .
Якщо кут j — це кут між l1 і l2, то кут між l2 і l1 дорівнюватиме p – j.
Умова паралельності прямих l1 і l2 на площині  :  .
Умова перпендикулярності прямих l1 і l2  :  .
| 
Знайдемо внутрішній кут А трикутника АВС:
А (1; -1), В (-5; 2), С (-2; 3).
Побудовою можна переконатись, що кут А утворений сторонами АС і АВ.
Величину кута знайдемо за формулою  , причому
 ;  . Таким чином,
 . Отже,  .
|
Нехай дві прямі на площині задані загальними рівняннями:
 (  1) і  ( 2).
Кут між прямими 1 і 2 знаходиться, як гострий кут між нормальними векторами цих прямих і задається формулою:
 .
Прямі паралельні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори паралельні, тобто виконується співвідношення:  (від-повідні координати нормальних векторів пропорційні).
Прямі перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли їх нормальні вектори перпендикулярні, тобто має місце рівність:  (скалярний добу-ток нормальних векторів дорівнює 0).
| 
Перевіримо, чи будуть прямі  і  паралельними.
Для цього підставимо у співвідношення  коорди-нати їх нормальних векторів. Одержимо:  , тобто  .
Таким чином, дані прямі паралельні.
|
| Відстань від точки до прямої | |
Нехай задано деяку точку М0 (х0, у0) і пряму l: Ах + Ву + С = 0.
Пересвідчимось, що М0 не лежить на прямій, тобто Ах0 + Ву0 + С ¹ 0.
Тоді відстань від точки М0 (х0, у0) до прямоїАх + Ву + С = 0 можна знайти за формулою:
 .
| 
Знайдемо відстань від точки С(-1; -1) до даної прямої
АВ:  .
Одержимо:
 .
|
| Завдання для самоперевірки |
|
1. Запишіть загальне рівняння прямої на площині. У якому випадку пряма проходить через початок координат, паралельна осі Ох, Оу?
2. Поясніть зміст основних складових рівняння у = kx + b.
3. Рівняння називається...
4. Яким видом рівняння прямої слід користуватися при знаходженні рівняння сторони, медіани і середньої лінії трикутника?
5. Дайте означення напрямного і нормального вектора для даної прямої.
6. Сформулюйте умови паралельності та перпендикулярності прямих на площині.
|
№1.Знайдіть кутовий коефіцієнт прямої, заданої рівнянням  .
№2.Визначте площу трикутника, утвореного прямою  з осями координат.
№3. При якому значенні коефіцієнта  прямі  та  перпендикулярні; паралельні?
№4. Дано трикутник АВС: А(-1; 1); В(-7; 4); С(-4; 5). Складіть:
а) рівняння усіх сторін трикутника;
б) рівняння медіани АМ;
в) рівняння середньої лінії KN, що паралельна стороні ВС.
№5.Дано трикутник АВС: А(-1; 4), В(-4; 3), С(2; 0). Складіть:
а) рівняння висот AH і BK трикутника, а також координати точки їх перетину;
б) рівняння прямої , що паралельна стороні АВ і проходить через точку С.
№6. Знайдіть внутрішні кутитрикутника АВС: А(-7; 3); В(2; -1); С(-1; -5). Перевірте справедливість теореми про суму кутів трикутника.
№7. Знайдіть відстань від точки К(-1; -1) до прямої MN:  .
|
| Відповіді |
№1.2,8.
№2. 6 кв. од.
№3.-0,2; 5.
№4. а) АВ:  ; ВС:  ; АС:  ; б)  ; в)  .
№5. а) АН:  ; ВК:  ; (0; 6); б)  .
№6.  ;  ;  .
№7. 1.
|
| Рівняння площини у просторі | |
Рівняння
 
визначає площину, яка проходить через точку  інормальним векто-ром якої є вектор  =  .
Якщо в рівнянні
розкрити дужки і ввести позначення  , то дістанемо рівняння
 ,
яке називається загальним рівнянням площини.
З останнього рівняння, поділивши обидві часини на  , одержимо рівняння площини у відрізках:
 ,
де  - величини на-прямлених відрізків, що їх відтинає пло-щина на координатних осях  ,  і  відповідно.
Рівняння площини, яка проходить через три точки  ,  ,  , має вигляд:
 = 0.
Якщо у загальному рівнянні площини вільний член  , то площина проходить через початок координат.
У випадку, коли який-небудь з коефіцієнтів  ,  або  дорівнює нулю, то площина паралельна одній з координатних осей, а саме тій, яка однойменна з відсутньою координатою, якщо ж, крім того і , то площина проходить через цю вісь.
Якщо  і  , то площина паралельна координатній площині  , якщо ж і  , то вона паралельна площині  , а при і - паралельна координатній площині  .
| 
1)Складемо рівняння площини, яка проходить через точку  перпендикулярно вектору  .
Скориставшись рівнянням
 ,
одержимо
 ,
звідси шукане рівняння площини має вигляд:  .
2)Запишемо рівняння площини, яка проходить через точку  і відтинає на осях координат відрізки однакової величини.
Скористаємося рівнянням площини у відрізках
 ,
у якому  .
При цьому одержимо рівняння:  , яке, за умовою, мають задовольняти координати точки .
Таким чином, має місце рівність:  , звідси  , і тому шукане рівняння площини має вигляд:  .
3) З точки  на координатні площини опущено перпендикуляри. Складемо рівняння площини, яка проходить через їх основи.
Основами перпендикулярів, опущених на координатні площини, є точки  ,  і  .
Використовуючи формулу:
 ,
запишемо рівняння площини, яка проходить через три точки  ,  та  :
 ,
звідси шукане рівняння площини має вигляд:  .
|
| <== предыдущая лекция | | | следующая лекция ==> |
| ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ | | | Рачок В.П. |
