Задание К2

4.2.1. Пример решения контрольного задания К2

Рассмотрим пример решения задания для механизма, кинематическая схема которого приведена на рис. 4.2., где ведущим звеном является груз. Задано: закон изменения вертикальной координаты груза x (t) = 30 + 10 t ², см; радиусы колес R₁ = R₃ = 10 см, R₂ = 30 см, r₂ = 20 см. Определить скорость и ускорение точки М для момента времени t₁ = 1 c.

Решение

Обозначим и покажем на рис. 4.3 точки механизма А, В, D₁, D₂, через которые передается движение от одного звена (ведущего) к другому (ведомому).

Решение задачи начнем с определения скорости груза. Поскольку груз совершает поступательное движение, его можно считать точкой, движение которой задано координатным способом, и движется только вдоль оси x. Проекцию скорости груза на эту ось определим как производную от координаты x по времени

, при t ₁ = 1 с v_x= 20 см/с.

Поскольку знак проекции скорости груза на ось x положительный, вектор скорости направлен вниз, т.е. в положительном направлении оси x.

Скорости всех точек нити, на которой висит груз, одинаковы (нить считается нерастяжимой), скорость точки схода нити с барабана (колеса 1) равна скорости груза. Но точка А схода нити в данный момент времени принадлежит и колесу 1, совершающему вращательное движение вокруг неподвижной оси, что позволяет определить его угловую скорость. Направление угловой скорости колеса 1 соответствует направлению скорости точки А. Запишем теперь алгебраическое значение угловой скорости колеса 1

, при t ₁ = 1с w_{1 z}= 2рад/с.

Колеса 1 и 2 находятся в зацеплении и имеют общую точку В (см. рис.4.3). Поэтому скорости точек колес, находящихся на их ободьях, одинаковы. При записи алгебраического значения угловой скорости колеса 2 учтем, что внешнее зацепление меняет направление вращения на противоположное

, при t ₁ = 1 с w_{2 z} = 1рад/с.

Одинаковы также скорости точек D₁ и D₂, расположенных на шкивах ременной передачи. Однако здесь направление вращения не изменяется, поэтому

, при t ₁= 1 с

Определим теперь скорость точки M колеса 3 в момент времени t ₁ = 1 с. Величина скорости – это произведение модуля угловой скорости на расстояние от точки M до оси вращения, которое равно радиусу , Направление вектора скорости покажем перпендикулярно радиусу, соединяющему точку с осью вращения, в соответствии с направлением вращения (рис. 4.4).

Для нахождения ускорения точки M необходимо знать угловое ускорение колеса 3. Алгебраическое значение углового ускорения определим как производную по времени от алгебраического значения угловой скорости Алгебраические значения угловой скорости и углового ускорения имеют одинаковые знаки, следовательно, вращательное движение является ускоренным.

Ускорение точки M определим как геометрическую сумму векторов вращательного и осестремительного ускорений, модули которых вычислим по формулам:

,

откуда получим полное ускорение точки M

.

Векторы ускорений показаны на рис. 4.4. Движение колеса 3 ускоренное, поэтому вращательное ускорение точки M направлено в ту же сторону, что и ее скорость. Осестремительное ускорение всегда направлено к оси вращения.

Если в условии будет задан не закон движения груза x(t), а зависимость угла поворота колеса 1 от времени, например, j ₁(t) = 3 +t ², рад, изменения в решении задачи коснутся только начального этапа. Алгебраическое значение угловой скорости колеса 1 определим как производную от его угла поворота по времени

Дальнейшее решение задачи не отличается от приведенного примера.

4.2.2. Условие и варианты задания К2

Задан закон движения ведущего звена механизма. В одних вариантах ведущим звеном является груз и задан закон изменения его вертикальной координаты x(t) в сантиметрах, а в других – одно из колес и задан закон изменения его угла поворота j(t)в радианах.Определить скорость и ускорение точки М для момента времени t₁. Расчетные схемы задания К2 представлены табл. 4.3, а числовые исходные данные – в табл. 4.4.

 

Таблица 4.3

К2-1	К2-2
К2-3	К2-4
К2-5	К2-6

 

 

Продолжение табл. 4.3

К2-7	К2-8
К2-9	К2-10
К2-11	К2-12

 

 

Продолжение табл. 4.3

К2-13	К2-14
К2-15	К2-16
К2-17	К2-18

 

Продолжение табл. 4.3

К2-19	К2-20
К2-21	К2-22
К2-23	К2-24

Таблица 4.4

Номер варианта	Уравнение движения ведущего звена	R 1, см	R 2, см	r 2, см	R 3, см	r 3, см	Момент времени, с
К2-1	= 3 + t 2					–	0, 5
К2-2	x= 2+3 t 2	–
К2-3	= 3 +t 2					–
К2-4	x= 4 t 2	–					0, 5
К2-5	= 1 + t 2					–	0, 5
К2-6	x= 4 t 2	–		–			0, 5
К2-7	= 4+2 t 2					–
К2-8	x= t 2	–		–
К2-9	x= 2 t 2	–
К2-10	= 2 + 2 t 2					–	0, 5
К2-11	x= 5 + t 2	–				–	0, 5
К2-12	= t 2 + 2					–
К2-13	х= 3 t 2 + t	–
К2-14	x= 10 + t 2	–
К2-15	= 3 t 2 + 2			–
К2-16	x= 5 t 2 + 5	–
К2-17	= 4 t 2 + 2					–
К2-18	x= 6 t 2	–
К2-19	= 4 t 2 – 2					–
К2-20	x= 4 + t 2	–				–
К2-21	x= 5 t 2 – 4	–		–
К2-22	= 3 + 2 t 2			–
К2-23	x= 4 + t 2	–		–
	x= 3 + t 2	–		–