Теорема сложения вероятностей (несовместных событий)

Пусть А и В – несовместные события. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Для нескольких несовместных событий имеем

.

Для совместных событий

,

где Р(АВ) – вероятность совместного появления событий А и В.

 

Теорема умножения вероятностей (независимых событий)

Вероятность произведения (совмещения) двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

Р(АВ)=Р(А)Р(В).

Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место

Р(АВ)=Р(А)Р(В/А)=Р(В)Р(А/В).

Пример. В урне 2 белых и 3 черных шара. Вынимаем подряд 2 шара. Какова вероятность того, что оба шара белые, т.е. А=А ₁ А ₂.

Решение. А ₁ – появление белого шара при 1-м испытании; А ₂ – появление белого шара при 2-м испытании

.

Следствие теоремы умножения вероятностей.

Вероятность появления хотя бы одного события из событий А ₁, А ₂ ,…,А_n, независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

.

В частном случае, при

.

Пример. Вероятности попадания в цель каждого из трех стрелков равны: р ₁=0,8; р ₂=0,7; р ₃=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания при одном залпе.

Решение. Вероятности промахов равны: . Следовательно,

.