Свойства дисперсии

1. D(С)= 0, т.е. дисперсия постоянной величины С равна нулю.

2. D(CX)=C ² D(X) – постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат.

Доказательство:

.

3. D(X+Y)=D(X)+D(Y) – дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий.

Доказательство:

 

Так как M(XY)=M(X)M(Y), то последнее равенство примет вид

,

откуда

.

Приведем без доказательства еще два свойства дисперсии.

4. D(C+X)=D(X).

5. D(X–Y)=D(X)+D(Y).

Отметим еще одно важное свойство дисперсии.

Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях равна

D(X)=npq.

Доказательство:

Найдем дисперсию числа появлений события А в одном испытании

Тогда .

Всего n испытаний, следовательно, D(X)=npq.

Дисперсия имеет размерность случайность величины в квадрате.

Среднее квадратическое отклонение

Если извлечь из дисперсии квадратный корень, получим среднее квадратическое отклонение

.

Размерность величины та же, что и случайной величины Х.

Пример. По распределению

Х
р	0,1	0,4	0,5

требуется вычислить среднее квадратическое отклонение.

Решение.

Среднее квадратическое отклонение суммы взаимно независимых случайных величин равно

Доказательство.

Дисперсия суммы случайных величин равна

.

Тогда

.