Домашнее контрольное задание № 2. Типичные задачи

1. Рассмотреть задачу двухкритериальной максимизации → max, → max на множестве допустимых решений , , x₁ ≥0, x₂ ≥0, x₃ ≥0. Найти Парето-эффективное решение, максимизирующее линейную свертку критериев Проверить, выполняется ли для возникающей задачи нелинейного программирования условия теоремы Вейерштрасса и является ли эта задача задачей выпуклого программирования. Проверить возможность использования условий Куна – Таккера в данной задаче. Выписать и проверить выполнение условий Куна – Таккера в градиентной форме для различных наборов активных ограничений. Найти решение рассматриваемой задачи нелинейного программирования. Выписать функцию Лагранжа и условия Куна – Таккера через функцию Лагранжа; проверить выполнение условий Куна – Таккера в найденном решении.

2. Фирма принимает решение о стратегии замены оборудования. Считается, что замена может осуществляться в начале любого года (практически моментально), причем частичная замена оборудования невозможна. Стоимость приобретения нового оборудования и замены старого оборудования на новое составляет 6 млн руб. После замены старое оборудование, эксплуатировавшееся до этого t лет, , реализуется по цене, которая определяется формулой млн руб. Известно, что прибыль от реализации продукции, произведенной за год, определяется формулой млн руб. Планирование производится на семь лет. Определить оптимальную стратегию замены оборудования при условии, что в начальный момент времени имеется оборудование, прослужившее один год.

3. Динамика фирмы описывается моделью K_{t+ 1} =K_t + (1 – u_t) δ K_t , K₀ = 1, C_{t+ 1} = C_t + u_tδK_t , C₀ = 0, где t = 0, 1, 2, …, T -1 – номер года; K_t – стоимость основных фондов к началу периода [ t, t +1]; C_t – суммарные дивиденды с момента 0 до начала периода [ t, t +1]; u_t – доля дивидендов в период [ t, t +1] в прибыли фирмы, которая считается равной δK_t, причем δ; – заданный постоянный параметр. Величина u_t является управлением в модели, причем 0 ≤ u_t ≤ 1, t = 0, 1, 2, …, T -1. Пользуясь методом динамического программирования, построить оптимальное управление, максимизирующее суммарные дивиденды за весь период времени [0, T ], то есть величину С_T. Считать, что δ; = 0.6, T =4.