Тема 3. Элементы линейной алгебры

[5] гл. XXI; [3] № 592, 624, 628.

Разберите решение задачи 5 данного пособия.

Задача 5. Данную систему уравнений записать в матрич­ной форме и решить ее с помощью обратной матрицы:

Р е ш е н и е. Обозначим через А — матрицу, коэффициен­тов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных ; Н — матрицу-столбец свободных членов:

А= , Х= , Н=

С учетом этих обозначений данная система уравнений при­нимает следующую матричную форму:

А*Х=Н. (1)

Если матрица А — н е в ы р о ж д е н н а я (ее определитель отличен от нуля), то она имеет обратную матрицу А . Умножив обе части уравнения (1) на А , получим:

А *А*Х= А *Н.

Но А *А=Е (Е — единичная матрица), а ЕХ=Х,.поэто­му

Х=А *Н (2)

Равенство (2) называется матричной записью реше­ния системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матри­цу А

Пусть имеем невырожденную матрицу

А= . Тогда А = ,

где А (i=1,2,3; j=1, 2, 3) —алгебраическое дополнение элемента а в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)^i+j на минор (определитель) второго по­рядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычислим определитель и алгебраические дополнения А элементов матрицы А.

=10 - следовательно матрица А име­ет обратную матрицу А .

, ,

, ,

, ,

, ,

.

Тогда

А = = .

По формуле (2) находим решение данной системы уравнений в матричной форме:

Х= А *Н= .

Отсюда х =3, х =0, х =-2.

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, п- го порядков?
2. Назовите основные свойства определителей.
3. Что называется минором, алгебраическим дополнением элемента определителя?
4. Напишите формулы Крамера решения системы линей­ных уравнений. В каких случаях их можно использовать?
5. Назовите схему решения системы линейных уравнений по методу Гаусса.
6. Что называется матрицей?
7. Как определяются основные действия над матрицами?
8. Какая матрица называется обратной по отношению к данной матрице? Как найти матрицу, обратную данной?
9. Что называется рангом матрицы? Как найти ранг мат­рицы?
10. Сформулируйте теорему Кронекера-Капелли.
11. Опишите матричный способ решения системы линей­ных уравнений.
12. Какова геометрическая интерпретация систем линей­ных уравнений и неравенств?