Тема 10. Дифференциальные уравнения

[2] гл. XXII § 1—13; [3] № 2058, 2067, 2094, 2102, 2165, 2186,2213,2215,

Разберите решение задач 12, 13 данного пособия.

Задача 12. Решить уравнениеу'—уtgх =-у²соз х.

Решение. Данное уравнение является уравнением Бернулли. Для его решения (как и для линейного уравнения) ис­комую функцию у представим в виде произведения двух дру­гих функций:и=и(х) и = (x), то есть введем подстановку у=и* . Тогдау'=и' +и ' и данное уравнение примет вид:

и' + и '- и tg х= - .

или

(и'-иtgх)+и '=- . (1)

Выберем функцию и так, чтобы

и'-иtgх=0. (2)

При подобном выборе функции и уравнение (1) примет вид

и '=- или '=- . (3)

Решая (2) как уравнение с разделяющимися переменными, имеем:

, , In и = - In cos х, и=- .

Здесь произвольная постоянная С=0. Подставляя найденное значение и в уравнение (3), имеем:

, , , .

Тогда у=и* = - общее решение данного уравнения.

 

Задача 13. Найти частное решение уравненияу"+4у=4sin2х-8cos2х, удовлетворяющее начальным условиям у(0)=0, у' (0) =0.

Решение. Общее решение у данного уравнения равно сумме общего решения у однородного уравнения и какого-либо частного решения у данного уравнения, то есть

у= у + .

Для нахожденияу составим характеристиче­ское уравнение R +4=0, имеющее комплексные корни.

R =2i и R =-2i. В этом случае общее решение однородного уравнения ищем в виде

у = е (С cos х+С sin ), (4)

где — комплексные корни характеристического уравне­ния. Подставив в (4) =0, = 2, имеем:

у =C cos2х+С sin2х.

Для нахождения частного решения неоднородного диф­ференциального уравнения воспользуемся следующей тео­ ремой: если правая часть неоднородного уравнения есть функция f(х)= е (аcos х+bsin ) и числа не явля­ются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

= е (Аcos х+Вsin ). Если же числа являются корнями характеристического уравнения, то существует частное решение

= хе (Аcos х+Вsin ).

Применяя эту теорему при , , имеем:

= х (Аcos2х+Вsin2х).

 

Дважды дифференцируя последнее равенство, находим =(4В-4Ах)cos2х+(-4А-4Вх)sin2х.

Подставив в данное уравнение и получим:

4 В соз2х—4 А sin2х=4sin2х-8соз2х,

откудаА =-1, В = —2.

Следовательно, =-х(cos2х+2sin2х) и у= C cos2х+С sin2х-х(cos2х+2sin2х).

Найдем у':

у'=-2 sin2х+2С cos2х- cos2х-2 sin2х-х(-2 sin2х+4 cos2х).

Используя начальные условия, получим систему

, откуда C =0, С = .

 

Следовательно,

у= sin2х-х(cos2х+2sin2х) - есть искомое частное решение данного дифференциального уравнения.

 

Вопросы для самопроверки

12. Что называется дифференциальным уравнением?

13. Что называется общим решением дифференциального уравнения? частным решением?

14. Каков геометрический смысл частного решения диф­ференциального уравнения первого порядка?

15. Приведите примеры дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными.

16. Какое дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным? уравнением Бернулли? Укажите спо­соб их решения.

17. Какое уравнение называется линейным дифференци­альным уравнением второго порядка?

18. Какое уравнение называется характеристическим для однородного дифференциального уравнения второго порядка?

19. Какой вид имеет общее решение однородного диффе­ренциального уравнения второго порядка в зависимости от дискриминанта характеристического уравнения?

20. Как найти общее решение неоднородного дифферен­циального уравнения второго порядка с постоянными коэф­фициентами?

21. Какой вид имеет частное решение неоднородного диф­ференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если его правая часть есть многочлен? по­казательная функция? тригонометрическая функция?