Тема 4. Введение в анализ

гл. VI § 1-9; [3] № 683, 685, 700. 701;

|гл. VII § 1 —13; [3] № 716, 734, 736, 738, 744, 747, 782, 789;

гл. VIII; [3] № 816, 820, 825 (2, 3).

Разберите решение задач 6, 7 данного пособия.

Задача 6. Вычислить пределы:

а) , б) (,

в) , г) .

Решение. а) Подстановка предельного значения аргу­мента х=-3 приводит к неопределенному выражению вида

.

Для устранения этой неопределенности разложим числи­тель и знаменатель дроби на множители и сократим дробь на множитель (х+3). Такое сокращение здесь возможно, так как множитель (х+3) отличен от нуля трих :

= = ;

б) При х выражение дает неопределен­ность вида . Для ее устранения умножим и разделим это выражение на (:

( = = ;

в) Обозначим arctg 5х=у. Тогда 5х =tg у и у при х . Применяя свойства пределов и формулу первого замечательного предела , имеем:

= ;

г) При х выражение является неопреде­ленностью вида 1 . Для устранения этой неопределенности представим основание степени в виде суммы 1 и бесконечно малой при х величины и применим формулу второго за­мечательного предела:

.

Тогда имеем: .

Пусть 2х+1=-4у. Тогда 4х+5=-8у+3 и у при х . Переходя к переменной у, получим:

.

Задача 7. Исследовать на непрерывность функцию у = . Рис.4

Решение. Данная функция является элементарной. Известно, что всякая элементарная функция непрерывна на своей области определения. Данная функция определена на интервалах (- ;1) и (1; ) и, следовательно, она непрерывна на этих интервалах. В точке х=1 функция имеет разрыв второго рода, поскольку в этой точке отсутствуют конечные односторонние пределы. График функции дан на рис. 4.

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте определение понятия функции.
2. Что называется областью определения функции? об­ластью изменения функции?
3. Перечислите основные элементарные функции. Назо­вите их основные свойства.
4. Какие функции называются элементарными? Приве­дите примеры.
5. Что называется пределом числовой последователь­ности?
6. Сформулируйте определение предела функции.
7. Назовите основные свойства пределов функций.
8. Какая функция называется бесконечно малой? беско­нечно большой?
9. Назовите свойства бесконечно малых функций.
10. Напишите формулы первого «второго замечательных пределов.
11. Какие логарифмы называются натуральными?
12. Дайте определения односторонних пределов функции в точке.
13. Какая функция называется непрерывной в точке? на интервале?
14. Какая точка называется точкой разрыва первого рода? второго рода?
15. Перечислите основные свойства непрерывных на от­резке функций.