Аналитическое выравнивание уровней ряда динамики. Понятие об интерполяции и экстраполяции.

Сущность метода аналитического выравнивания заключается в нахождении такой аналитической прямой или кривой, ординаты точек которой будут наиболее близкими к уровням исследуемого ряда динамики, а следовательно отражать характер изменения изучаемого явления во времени.

Разработка уравнения тренда состоит из двух этапов:

1. выбор вида функции, дающей наилучшее приближение к исходным уровням ряда. Осуществляется на основе следующих приемов:

1) графическое изображение уровней ряда;

2) изучение изменения основных показателей ряда динамики:

а) если уровни ряда изменяются с постоянной скоростью (цепные абсолютные приросты примерно одинаковы), применяют выравнивание по уравнению прямой:

б) если цепные абсолютные приросты равномерно увеличиваются или уменьшаются, то используют уравнение тренда параболы второго порядка;

в) когда уровни ряда динамики изменяются примерно с равными темпами роста, то применяют показательную кривую.

3) при обосновании выбора формы тренда могут быть использованы и специальные статистические критерии (коэффициент детерминации, ошибка аппроксимации и др.).

2. нахождение параметров выбранной функции. Для этого используют способ наименьших квадратов, при котором предполагается, что сумма квадратов отклонений фактических уровней (y_i) от выравненных () (расположенных на искомой линии тренда) должна быть минимальна:

min,

где - исходные (фактические) уровни;

- выравненные (расчётные) уровни.

Рассмотрим алгоритм выравнивания ряда динамики по уравнению тренда прямой:

Чтобы выражение принимало минимальное значение, параметры и должны удовлетворять следующей системе нормальных уравнений:

где - фактические уровни ряда динамики;

- число уровней ряда;

- порядковый номер периода или момента времени.

Расчет параметров уравнения упрощается, если значения времени подобрать так, чтобы их сумма равнялась нулю (). При этом действует следующее правило:

а) при нечетном числе уровней ряда за начало отсчета времени принимают середину ряда и проставляют t=0, а остальным моментам присваивают следующие значения. Например:

Годы
t	-3	-2	-1		+1	+2	+3

б) при четном числе уровней ряда принимают следующие обозначения времени (t):

Годы
t	-5	-3	-1	+1	+3	+5

В результате преобразований система уравнений примет вид:

Отсюда параметры уравнения будут рассчитываться по формулам:

Параметры полученного уравнения интерпретируют следующим образом:

– средний уровень ряда в момент, принятый за начало отсчета времени.

– средний абсолютный прирост уровней ряда при увеличении фактора времени на единицу.

Полученное уравнение представляет математическую модель развития изучаемого явления и выражает статистическую закономерность, проявляющуюся в исходном ряду динамики. Для изучения тенденции ряда фактические уровни ряда необходимо заменить уровнями, рассчитанными на основе полученного уравнения тренда.