Аксиомы статики

Основные понятия и определения

Основными задачами статики являются: 1) приведение данной системы сил к простейшему виду; 2) определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

В зависимости от постановки задачи тело рассматривается с учетом или без учета его размеров. В последнем случае тело представляют в виде материальной точки, которая обладает массой и способностью взаимодействовать с другими телами. Тело, которому из данного положения можно сообщить любое перемещение в пространстве, называется свободным. В противном случае тело является несвободным. Абсолютно твердое тело – это материальное тело, в котором расстояние между двумя любыми точками остается неизменным. В природе, безусловно, таких тел нет, поскольку при действии сил тела изменяют свою форму. Однако, например, при определении реакций связей данная гипотеза не вносит существенной погрешности.

Сила – является основной мерой механического взаимодействия материальных тел. Сила – величина векторная и определяется числовым значением (модулем), направлением и точкой приложения. Условимся в дальнейшем векторы обозначать черточкой сверху или жирным шрифтом.

За единицу силы в системе СИ принимается Ньютон (Н). Сила, величиной 1 Н, приложенная к покоящемуся телу массой 1 кг, вызывает движение тела с ускорением 1 м/с².

Линия, по которой направлена сила, называется линией действия силы (рис. 1.1).

Совокупность нескольких сил, действующих на данное тело или систему тел, называется системой сил. Если линии действия всех сил лежат в одной плоскости, то такая система сил называется плоской, а если линии действия сил не лежат в одной плоскости, – пространственной. Силы, линии действия которых пересекаются в данной точке, называются сходящимися, а силы, линии действия которых параллельны друг другу, – параллельными.

Твердое тело может находиться в состоянии покоя или некоторого движения. Каждое из этих состояний условимся называть кинематическим состоянием тела. Если две системы сил и вызывают у одного и того же тела одинаковое кинематическое состояние, то такие две системы сил являются эквивалентными: ~ . Если система сил ~ , то сила называется равнодействующей данной системы сил. Систему сил называют уравновешенной, если она, будучи приложенной к покоящемуся телу, не изменяет его состояние покоя. Уравновешенная система сил эквивалентна нулю: ~ 0.

Сила, действующая на тело по малой площадке, называется сосредоточенной (условно считают – приложена в точке).

Силы, действующие на части объема, поверхности или линии, называются распределенными. Распределенные силы характеризуются интенсивностью , т.е. значением силы, приходящейся на единицу объема (в случае объемных сил), на единицу площади (в случае поверхностных сил), на единицу длины (в случае действия сил по линии).

Пример. На брус длиной 10 м действует равномерно распределенная сила интенсивности 0,2 кН/м (рис. 1.2), т.е. на каждый метр длины бруса действует сила 0,2 кН. Определим равнодействующую равномерно распределенной силы, которая приложена посредине бруса:

0,2 кН/м · 10 м = 2 кН.

Аксиомы статики

Первая аксиома. Система двух равных по величине, но противоположно направленных сил, приложенных к одному телу, и действующих по одной прямой, эквивалентна нулю. Это утверждение можно записать следующим образом: , , ~ 0. Тело находится в равновесии (рис. 1.3).

Вторая аксиома. Механическое состояние тела не изменится, если к системе сил добавить или изъять из нее систему сил, эквивалентную нулю. Суть аксиомы в том что, если к телу приложена система сил и имеется уравновешенная система сил ~ , то ~ .

Следствие аксиом 1 и 2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, точку приложения силы можно переносить по ее линии действия.

Доказательство. Пусть сила приложена в точке А твердого тела (рис. 1.4). Приложим уравновешенную систему сил ( и ) в точке В, лежащей на линии действия силы , причем . Очевидно, что силы и составляют уравновешенную систему сил и ее можно изъять. Тогда ~ ~ . Таким образом, силу можно перемещать по линии ее действия, т.е. она есть вектор скользящий.

Третья аксиома. Всякое действие вызывает равное и прямо противоположное противодействие. Эту аксиому в динамике называют третьим законом Ньютона о равенстве действия и противодействия.

Допустим тело S (рис. 1.5) оказывает давление в точке А на тело Q силой . В свою очередь тело Q действует на тело S в точке А силой . В соответствие с аксиомой силы равны по модулю , но противоположны по направлению: . В данном случае силы приложены к разным телам, поэтому здесь нельзя применять первую аксиому статики.

Силы взаимодействия двух тел направлены по одной линии действия и могут зависеть от расстояния между ними. Так, например, любая пара молекулы неона находится в постоянном взаимодействии. Если расстояние между ними 2,5Å (1Å=10^–10 м), то возникают силы отталкивания. На расстоянии 3,5Å действуют уже силы притяжения, а на расстоянии 5Å силы взаимодействия практически равны нулю.

Четвертая аксиома. Система двух сил , приложенных в одной точке твердого тела, всегда имеет равнодействующую силу (рис. 1.6). Эта равно-действующая – равна векторной сумме и : . Все три силы находятся в одной плоскости. Величину равнодействующей можно вычислить по теореме косинусов или найти как модуль диагонали параллелограмма:

.

Данная аксиома допускает и обратное утверждение: силу можно разложить бесчисленным множеством способов на две силы.

Чаще всего силу раскладывают на две взаимно перпендикулярные составляющие (рис. 1.7): горизонтальную и вертикальную . Диагональ АС прямоугольника АВСD является равнодействующей , а стороны АВ и АD – искомыми составляющими: . Их модули , .