Условия задач. Задача Д-2.0. Свободная материальная точка массы движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса под действием це

Задача Д-2.0. Свободная материальная точка массы движется в горизонтальной плоскости по окружности радиуса под действием центральной силы с начальной скоростью .

Определить модуль силы и её импульс за время, в течение которого точка переместится из положения в положение . Определить также ускорение точки в положении .

Таблица Д-2.0

№ столбца
m, кг		1,5	2,4	1,8	0,6	0,8	2,4	1,5	1,6	1,8
R, м	0,8	1,4	1,5	1,6	0,8	1,2	0,8	0,6	0,8	0,5
,м/с	1,8	1,6	2,2	2,8	2,6	3,0	1,5	2,5	2,0	3,0
град.
град.

Задача Д-2.1 Свободная материальная точка массы движется в горизонтальной плоскости по эллипсу с полуосями и под действием центральной силы с начальной скоростью .

Таблица Д-2.1

№ столбца
m, кг	0,6	0,8	1,2	1,6	2,0	2,4	1,5	2,5	2,6	1,8
, м/с	0,9	1,2	1,6	1,8	1,5	1,0	2,0	1,8	1,2	1,5
м	0,4	0,6	0,8	1,0	0,3	0,5	1,2	1,4	0,2	0,7
м	0,2	0,4	0,6	0,8	0,1	0,3	0,8	1,0	0,1	0,4

Определить скорость точки в положении , импульс силы за время, в течение которого точка переместится из положения в положение , и работу силы на этом перемещении.

Задача Д-2.2. Тело весом под действием силы тяжести скользит без трения по кольцу радиуса , расположенным в вертикальной плоскости. В начальный момент времени тело находилось в положении и имело скорость .

Таблица Д-2.2

№ столбца
Н
, м/с	2,6	0,3	4,0	5,0	5,2	4,4	4,8	5,0	3,4	8,0
м	0,2	0,4	0,6	0,8	1,0	0,5	0,7	0,5	0,3	1,2
град.
град.

Считая тело материальной точкой, определить скорость и ускорение тела в положении , а также импульс действующих сил за время перемещения тела из в .

 

Задача Д-2.3. Груз весом прикреплён к концу невесомого стержня длиной , который может вращаться вокруг неподвижной оси в вертикальной плоскости. В начальный момент времени стержень отклонили на угол и сообщили грузу начальную скорость .

Таблица Д-2.3

№ столбца
, м/с		5,6	6,4	6,0	5,8	8,2	4,4	6,8	8,6	4,8
м	0,2	0,6	0,6	0,4	0,3	0,5	0,15	0,25	0,2	0,1
град.
град.

Определить скорость и ускорение груза, а также усилие в стержне в положении . Определить также импульс действующих на груз сил за время перемещения из положения в положение .

 

Задача Д-2.4. На конце невесомого стержня длиной 0,2 м закреплён груз весом . В положении грузу сообщена начальная скорость .

Определить: 1. Скорость и ускорение груза в положении , определяемым углом . 2. Продольную силу в стержне в этом положении. При вычислениях принять 10 м/с².

Таблица Д-2.4

№ столбца
Н
, м/с	2,1	2,2	2,5	2,4	2,3	2,6	2,8	3,0	2,7	2,5
град.

Задача Д-2.5. Груз весом прикреплён к концу невесомого стержня длиной и отклонён от вертикалина угол . В этом положении грузу сообщена начальная скорость .

Таблица Д-2.5

№ столбца
Н
, м/с	0,8	1,5	2,8	1,8	3,6	1,6	2,4	1,4	1,0	3,0
м	0,1	0,3	0,5	0,8	1,0	0,6	0,4	0,5	0,2	0,9
град.					22,5					22,5

Определить: 1) наибольший угол отклонения стержня от вертикали; 2) скорость и ускорение груза в положении ; 3) импульс приложенных к грузу сил за время перемещения из положения в положение ; 4) продольную силу в стержне в положениях и .

 

Задача Д-2.6. Шарик весом вложен в вертикально поставленный самострел, пружина которого сжата на . Коэффициент жесткости пружины .

Таблица Д-2.6

№ столбца
Н						1,5
см
Н/см,

Определить, с какой скоростью вылетит шарик из самострела, и на какую высоту он поднимется при отсутствии сопротивления воздуха.

Задача Д-2.7. Шарик массой 0,1кг выталкивается пружиной в трубку, расположенную в вертикальной плоскости и имеющей форму двух полуокружностей радиусами и с центрами в точках и соответственно. Пружина в начальный момент времени сжата на величину . Коэффициент жесткости пружины , где постоянная величина. Принимая шарик за материальную точку, определить скорость и ускорение шарика в положениях , а также силу давления шарика на стенку трубки в положении . Трением пренебречь.

Таблица Д-2.7

№ столбца
м	0,5	0,2	0,1	0,3	0,4	0,6	0,5	0,3	0,1	0,7
град.
град.
м2/с 2

Задача Д-2.8. Вагонетка весом = 6 кН скатывается вниз с высоты без начальной скорости по рельсам, расположенным по криволинейному пути и образующем затем круговое кольцо радиуса .

Считая вагонетку материальной точкой, определить её скорость и ускорение, а также силу давления вагонетки на кольцо в тот момент, когда она находится в точке , положение которой определяется углом . Сопротивлением движению пренебречь.

Таблица Д-2.8

№ столбца
м			1,5		2,5
м
град.

Задача Д-2.9. Тело весом начинает движение в точке с начальной скоростью по плоскости с углом наклона 45⁰, пройдя путь длиной . Не меняя скорости в точке , тело скользит по плоскости с углом наклона 30⁰, пройдя путь , а затем движется по горизонтальной плоскости . Плоскости и гладкие. Коэффициент трения скольжения тела о плоскость на участке равен . Тело считать материальной точкой.

Таблица Д-2.9

№ столбца
м/с	4,5
м	1,2	0,8	1,6	1,5	1,8	1,0	2,4	2,6	1,8	2,0
м	0,8	0,5	0,8	1,0	4,0	2,0	1,6	1,3	1,2	1,6
	0,1	0,2	0,4	0,5	0,05	0,1	0,08	0,1	0,06	0,1

Определить пройденный телом путь на участке до остановки в точке , а также общее время движения.

Схемы к задачам Д- 2

 

Указания к решению задач Д- 2

Задача Д-2.0. Применяя теорему об изменении момента количества движения точки относительно оси , докажите, что при действии центральной силы точка совершает равномерное движение. Тогда ускорение точки , где её скорость.

Модуль силы можно найти, применяя второй закон динамики точки в проекции на главную нормаль: . Для определения импульса силы рекомендуется применить теорему об изменении количества движении точки в проекциях на оси , причём модуль импульса силы найти по формуле , где , .

Задача Д-2.1. Для определения скорости следует применить теорему об изменении момента количества движения точки относительно оси , учитывая, что . Для определения импульса силы применить теорему об изменении количества движения точки в проекциях на оси , а для определения работы силы применить теорему об изменении кинетической энергии точки на перемещении : .

 

Задачи Д-2.2–Д-2.5. Для определения скорости точки в положении следует применить теорему об изменении кинетической энергии точки на перемещении . Ускорение точки . Для определения касательного ускорения применить теорему об изменении момента количества движения точки относительно точки : или . Отсюда, сокращая на , получим . Обратите внимание на знаки моментов силы тяжести и количества движения точки. Если угол отсчитывается против хода часовой стрелки, то >0. В задаче Д-2.2 угол отсчитывается по часовой стрелке, поэтому <0. Нормальное ускорение , где радиус траектории. В случае, если траекторией является окружность радиуса , то .

Продольную силу в стержне можно найти, решая первую задачу динамики: , нормальное ускорение . Модуль импульса силы найти как в задаче Д-2.0.

Задача Д-2.6. Движение шарика на участке происходит под действием силы тяжести и силы упругости, а на участке – только под действием силы тяжести. Применяя на обоих участках теорему об изменении кинетической энергии точки, можно найти высоту подъёма . Обратите внимание на единицы измерений и .

Задача Д-2.7. Сначала рекомендуется рассмотреть движение шарика на участке , которое происходит под действием силы упругости пружины, и определить скорость шарика в положении . Затем, применяя на участках и теорему об изменении кинетической энергии, можно найти скорости шарика в положениях . Давление шарика на стенку трубки определяется решением первой задачи динамики: .

Задача Д-2.8. Для определения скоростей точки в положениях , рекомендуется применить теорему об изменении кинетической энергии на участках и . Ускорение вагонетки определяется так же, как и в задачах Д-2.2–Д-2.5.

 

Задача Д-2.9. При решении этой задачи рекомендуется применить теорему об изменении кинетической энергии и теорему об изменении количества движения точки последовательно на участках . Очевидно, что в момент остановки скорость тела равна нулю.