Вычисление площадей плоских фигур и объемов тел
I. Площадь плоской квадрируемой фигуры D (простого компакта в R2) R2 можно вычислить по формуле (см. главу 1, §1) . (1)
y Отсюда, в частности, для правильного в направлении оси OY D компакта D получаем известную формулу (см. Рис. 1). a b x Рис.1
Пример 1. Вычислим площадь фигуры D, ограниченной линиями . à 4 y=4x-x2 Фигура D является правильным в направлении оси OY компактом. Его проекция на ось OX D есть отрезок [1;4]. 0 1 2 4 x x+y=4 Рис.2 Имеем: ¨ Пример 2. Вычислим площадь фигуры D, ограниченной линиями .
à y r = 4cosj Фигура D есть правильный в направлении лучей j =const компакт, ограниченный линиями r =2cosj (линия входа), r = 4cosj (линия выхода) и лучами j = -p/2;j = p/2; 0 4 x Используя формулу (1) и переходя к полярным координатам будем иметь: r =2cosj Рис.3 ¨ II. Объем Q (простого компакта в R3) равен тройному интегралу (см.гл. 2, § 1): . (2) z - y
D x
Рис.4 Пусть Q - правильный в направлении оси OZ компакт и D - его проекция на плоскость OXY). Если этот компакт ограничен поверхностями и (где функции непрерывны в D и и цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей, параллельной оси OZ (см. Рис. 4), то . Отсюда непосредственно вытекает следующее утверждение, выражающее геометрический смысл двойного интеграла: Если функция f (x; y) непрерывна и неотрицательна на простом компакте D, то криволинейное цилиндрическое тело (см.Рис.5), ограниченное плоскостью OXY, сверху – графиком функции z= f (x; y), а с боков – цилиндрической поверхностью с направляющей и образующей, параллельной оси OZ, имеет объем . (3) z z= f (x; y),
y D x Рис. 5 Пример 3. Вычислим объем тела Q, ограниченного плоскостями и параболоидом .
à Тело Q - правильный в направлении оси компакт, его проекция на плоскость есть квадрат:
.
z y
4 D
0 4 y 0 4 x 4 x A(4;4) Рис.6
Имеем: ¨ Замечание. В ряде случаев объем тела Q можно вычислить с помощью определенного интеграла. Например, , где – проекция тела Q на ось Ox, а - площадь фигуры, полученной при пересечении тела Q плоскостью, перпендикулярной оси Ox и проходящей через точку этой оси с абсциссой . Упражнения I. Вычислите площади плоских областей, ограниченных линиями: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) II. Вычислите объемы тел, ограниченных указанными поверхностями: 1) параболоидами и плоскостями 2) цилиндрами и плоскостями 3) сферой и параболоидом (внутренний по отношению к параболоиду; 4) параболоидом и сферой .
|