Центры масс (центры тяжести фигур)

 

I. Статические моменты и центр тяжести плоской материальной фигуры

Определение 1. Пусть в R ² относительно заданной декартовой системы координат OXY дана материальная точка (x;y) массы m. Статическим моментом точки (x;y) относительно оси Ox (Oy) называется произведение массы этой точки на ее ординату (абсциссу):

Определение 2. Статическим моментом относительно оси Ox (Oy) системы конечного числа материальных точек , имеющих массы называется сумма статических моментов этих точек относительно оси Ox (Oy):

(1)

Пусть теперь в R² относительно прямоугольной системы координат OXY дана материальная фигура D с поверхностной плотностью . Будем предполагать, что D – связной простой компакт, а функция непрерывна и неотрицательна в D. Масса фигуры D, как установлено ранее, равна:

. (2)

Возьмем произвольное разбиение T фигуры D на любое конечное число n квадрируемых ячеек попарно без общих внутренних точек. Площади ячеек обозначим через . В каждой ячейке выберем произвольно точку . Масса ячейки приближенно равна . Если диаметр разбиения T достаточно мал, то можно считать, что эта масса сосредоточена в точке . Введем в рассмотрение следующие суммы, составленные по закону (1):

(3)

Определение 3. Если при существует конечный предел суммы (), то он называется статическим моментом материальной фигуры D относительно оси Ox (Oy):

 

. (4)

Так как плотность по предположению непрерывна в D, а суммы (3) – это интегральные суммы для непрерывных в D функций и , то указанные пределы существуют, причем

. (5)

Определение 4. Точка с сосредоточенной в ней массой (2) материальной фигуры D R² называется центром тяжести (центром масс) фигуры D, если статические моменты этой материальной точки относительно осей Ox и Oy равны соответственно статическим моментам фигуры D относительно этих осей, т.е. если

. (5¢)

Из формул (2) и (5¢) получаем

(6)

.

Если фигура D однородная, т.е. , то формулы (6) упрощаются:

, (7)

где - площадь фигуры D.

Пример 1. Найдем координаты центра тяжести однородной фигуры D, ограниченной линиями (см. Рис. 1).

à Так как данная материальная однородная фигура D симметрична относительно оси OX, то . Для нахождения воспользуемся первой из формул (7).

y

2

 

-1 0 2 x

-2

Рис. 1

Имеем:

Следовательно,

Таким образом, точка - центр тяжести данной фигуры D. ¨

 

II. Статические моменты и центр тяжести пространственного тела

Пусть в R³ дотносительно заданной декартовой системы координат OXYZ дано материальное тело Q с объемной плотностью (будем считать, что функция непрерывна в Q). По аналогии с плоским случаем вводятся понятия статических моментов тела Q относительно координатных плоскостей, а также центра тяжести этого тела. При этом имеют место формулы:

 

где .

III. Моменты инерции плоской материальной фигуры относительно данной прямой или точки

Определение. Моментом инерции материальной точки A массы m относительно данной прямой (точки) называется произведение массы этой точки А на квадрат ее расстояния до этой прямой (точки):

.

По аналогии с рассуждениями п.I, вводятся понятия моментов инерции ситемы конечного числа материальных точек относительно данной прямой l материальной фигуры DÌR² с поверхностной плотностью , а также устанавливается формула:

.

В частности, моменты инерции фигуры D относительно осей OX и OY соответственно равны:

а момент инерции этой фигуры относительно начала координат выражается формулой

Предполагается, что в приведенных формулах плотность является непрерывной в D функцией.

Заметим, что

.

В случае пространственного материального тела R³ (с объемной плотностью

Для момента инерции этого тела относительно координатных плоскостей, координатных осей и начала координат, имеют место формулы:

Упражнения

1. Определите массу пирамиды, образованной плоскостями если плотность в каждой ее точке пропорциональна аппликате этой точки.

2. Найдите массу вещества, заполняющего общую часть двух шаров и , если его плотность в каждой точке пропорциональна расстоянию ее до плоскости OXY.

3. Найдите центр тяжести:

1) однородного тела, ограниченного поверхностями

2) полушара , у которого объемная плотность в каждой точке численно равна расстоянию от этой точки до центра его основания.

4. Неоднородное тело ограничено плоскостями и цилиндром . Объемная плотность вещества в каждой его точке пропорциональна ее расстоянию от плоскости OXY. Найдите момент инерции этого тела относительно оси OZ.

[n1]