Вычисление площади ограниченного участка поверхности

 

I. Определение площади участка поверхности s как предела площади вписанной многогранной поверхности при стремлении к нулю наибольшего из диаметров граней неприменимо. Это определение теряет смысл даже для очень простых поверхностей. Как показал в 1880г. немецкий математик Шварц даже для такой простой поверхности как боковая поверхность прямого кругового цилиндра указанного выше предела не существует.

В данном параграфе приводится общепринятый ныне способ введения понятия площади гладкой поверхности и ее вычисления.

Пусть в пространстве относительно заданной прямоугольной системы координат OXYZ дана ограниченная связная поверхность (s), являющаяся графиком функции

. (1)

Пусть, далее, D – проекция этой поверхности на плоскость OXY, а функция f (x;y) непрерывно-дифференцируема в D. Следовательно, в каждой точке поверхности (s) существует касательная плоскость к ней, не параллельная оси OZ. Кроме того, будем предполагать, что D – простой компакт в R².

Разобьем произвольным образом D на любое конечное число n квадрируемых ячеек попарно без общих внутренних точек и с площадями . Это разбиение обозначим через T. В каждой ячейке выберем произвольную точку и на поверхности s соответственно точки .

Проведем через каждую точку M_k касательную плоскость к (s) и выделим на ней ячейку , проекция которой на плоскость OXY есть .Площадь ячейки обозначим .

Ячейки образуют, так называемую, чешуйчатую поверхность (s*).

Площадь этой поверхности равна

. (2)

Пусть l(T ) – наибольший из диаметров ячеек().

Определение. Если при существует конечный предел s площади чешуйчатой поверхности (s*), то этот предел называется площадью поверхности (s), а сама эта поверхность называется квадрируемой.

Таким образом, по определению,

. (3)

Справедлива следующая

Теорема. Если поверхность (s) является графиком непрерывно-дифференцируемой в D функцией (1), то поверхность s квадрируема, причем

. (4)

à Из курса геометрии известно, что:

, (5)

где g_k - величина острого угла между плоскостью OXY и касательной плоскостью к поверхности (s) в точке M_k.

Из (5) имеем:

. (6)

Для вычисления заметим, что угол g_k равен углу между векторами

и

,

где -вектор, перпендикулярный плоскости OXY, - вектор, перпендикулярный касательной плоскости к (s) в точке M_k.

Найдем скалярное произведение этих векторов.

Имеем

.

С другой стороны,

.

Следовательно,

=1,

откуда

.

Поэтому, с учетом (6), имеем

.

Отсюда видим, что s* есть интегральная сумма для непрерывной в D функции .

Следовательно, существует конечный предел

.

Другими словами, поверхность (s) квадрируема и ее площадь

.

Пример 1. Вычислим площадь части сферы , заключенной внутри цилиндра (см. Рис. 7).

 

à z

y

 

4 y 0 4 x

 

x Рис. 7

à Так как указанная в условии задачи часть сферы симметрична относительно плоскости OXY, то , где s₁ – площадь части полусферы , заключенной внутри цилиндра Проекция этой части полусферы на плоскость OXY есть круг

R² .

Имеем

.

Учитывая, что

,

получим

Следовательно,

¨

II. Выведем теперь формулу для вычисления площади поверхности (s), образованной вращением кусочно-гладкой дуги вокруг оси OX (см. Рис. 8).

Уравнение этой поверхности в R³ относительно прямоугольной системы координат OXYZ имеет вид: . Возьмем часть этой поверхности, расположенную в полупространстве . Ее уравнение , а площадь .

 

y

y

M

P x

0 a b x

D

z

Рис. 8

Поскольку ,

то

а тогда вся искомая площадь

. (7)

Замечание. Если дуга пересекает отрезок в конечном числе точек, то площадь поверхности, образованной вращением этой дуги вокруг оси OX может быть вычислена по формуле .

Пример. Найдем площадь сферического пояса, полученного вращением полуокружности вокруг оси Ox.

 

à Воспользуемся формулой (7). Имеем

,

,

-R 0 a b R x

Рис.9

.

Следовательно,

.

В частности, если ,то - площадь поверхности шара радиуса R.¨;

Упражнения

1. Вычислите площадь поверхности конуса , заключенной внутри цилиндра .

2. Найти площадь поверхности, вырезанную цилиндром из сферы .

3. Найти площадь части поверхности , вырезанной цилиндром и расположенной в первой октанте.