Бесконечно большая функция

Определение. Функция f(х) называется бесконечно большой при х→х₀, то есть , если для произвольного найдется такое что для всех из - окрестности точки .

.

Если важно отметить знак бесконечно большой функции, то перед символом пишут + или -. Например,

Замечание Постоянная величина не является бесконечно малой, какой бы мала она не была. Только число 0 можно считать бесконечно малой величиной.

Замечание Нельзя называть функцию ни бесконечно большой, ни бесконечно малой, если не указана окрестность точки, где она рассматривается.

Так, мы видели, что функция является бесконечно малой при х→∞; и бесконечно большой при х→2

Связь между бесконечно большими и бесконечно малыми функциями выражается такой теоремой:

Теорема. Если есть функция бесконечно малая, в окрестности точки х=х₀., то функция является бесконечно большой в окрестности этой же точки.

Сформулируем некоторые теоремы о бесконечно малых функциях.

Теорема. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций в окрестности точки х=х₀ является бесконечно малой функцией в окрестности х=х₀.

Теорема 4.4. Произведение функции бесконечно малой в окрестности точки х=х₀ на функцию, ограниченную в окрестности точки х=х₀, функция бесконечно малая в окрестности точки х=х₀.

Следствие 1. Произведение функции бесконечно малой в окрестности точки х=х₀ на постоянную величину есть функция бесконечно малая в окрестности точки х=х₀.

Следствие 2. Произведение двух бесконечно малых функций в окрестноститочки х=х₀. функция бесконечно малая в окрестности точки х=х₀.

Таким образом, сумма, разность и произведение конечного числа бесконечно малых функций в окрестности точки х=х₀ бесконечно малая в окрестности этой же точки.

Этого нельзя сказать об их отношении. Так, если х→0, то и являются бесконечно малыми в окрестности точки х=0, а их отношения при х→0:

Из этого следует, что отношения двух бесконечно малых функций в окрестности точки х=х₀ представляет собой неопределенность типа

Отношения двух бесконечно больших функций также представляет собой неопределенность, которую обозначают символом

Для того чтобы вычислить предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших функций, надо провести дополнительные исследования, которые носят название раскрытия неопределенностей соответственно типа и С ними мы познакомимся дальше.

Теорема. Если функцию f(х) имеет предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А ибесконечно малой функции α(х), т.е. если

 

Теорема (обратная). Если функцию f(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции f(х), т. е. если f(х) = А + α(х), то

Теоремы о пределах

Для вычисления пределов надо пользоваться некоторыми правилами. Эти правила формулируются в виде теорем, которые мы сформулируем ниже. Для доведения этих теорем используется следующая теорема:

Теорема. Для того чтобы функция у=f(х) в точке х=х₁ имела предел число необходимо и достаточно, чтобы она была представлена в окрестности данной точки в виде суммы ,

где - бесконечно малая функция в окрестности точки х=х₁.

 

Теорема. Предел алгебраической суммы(разности) конечного числа функций, которые имеют предел в точке х=х₀, равен сумме(разности) пределов слагаемых:

Доказательство. Пусть Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.в. можно записать: и Следовательно

Следствие Функция может иметь только один предел при х→х₁

Теорема. Предел произведения конечного числа функций, которые имеют пределы в точке х=х₁, равен произведению пределов сомножителей:

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

.

Следствие. Предел степени с натуральным показателем равен той же степени предела:

, в частности , nÎN

Теорема. Если функция у=f(х) имеет в точке х=х₁ предел, отличный от нуля, то функция - ограничена в окрестности данной точки.

Теорема. Предел частного двух функций, имеющих пределы, равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

, если

Сформулируем признака существования пределов:

Теорема. Если значение функции f(х) находится между соответствующими значениями функций f₁(х) и f₂(х), которые при х=х₁ стремятся к одному пределу а, то f(х) при х=х₁ также имеет предел число , т.е., если

и если

то

Свойства пределов

 

1.

2.

3.

4.

 

5.