Неравенство Чебышева. Великий русский математик, академик П.Л

Великий русский математик, академик П.Л. Чебышев в 1846 г. вывел простое неравенство, позволяющее доказать закон больших чисел в самой общей форме.

Рассмотрим случайную величину X, математическое ожидание которой и дисперсия .

Неравенство Чебышева утверждает: вероятность того, что отклонение случайной величины X от её математического ожидания будет по абсолютной величине не менее любого числа > 0, ограничено сверху величиной , т.е.

(5.1)

Доказательство. 1. Пусть случайная величина X дискретная с рядом распределения

X	x 1	x 2	…	. xn
p		p 2	…	pn

 

Тогда дисперсия случайной величины X

. (5.2)

Все слагаемые этой суммы неотрицательны. Отбросим все слагаемые, у которых , вследствие чего сумма (5.2) может только уменьшиться:

, (5.3)

т.е. суммирование распространяется только на значения i, для которых отклоняется от математического ожидания на величину не меньше чем ε.

Заменим в формуле (5.3) выражение через ε, от такой замены сумма только уменьшится:

, (5.4)

так как

.

Подставляя в формулу (5.4) данное выражение, получим

.

Откуда непосредственно вытекает неравенство (5.1).

2. Пусть теперь случайная величина X непрерывна с плотностью распределения . Тогда

. (5.5)

Возможные значения случайной величины принадлежат всей числовой оси. Выделим на числовой оси вправо и влево от математического ожидания отрезки длиной ε (рис. 5.1)

ε ε

 

A а B

Рис. 5.1

Если в выражении (5.5) интеграл по всей оси ОХ заменим интегралом по области, лежащей вне отрезка АВ, то величина интеграла при этом может только уменьшиться, поскольку под интегралом стоит неотрицательная функция, т.е.

. (5.6)

Заменяя под интегралом (5.6) через ε, снова можем только уменьшить величину интеграла.

. (5.7)

Так как

,

то неравенство (5.7) принимает вид:

. (5.8)

Здесь знак заменен знаком >, так как для непрерывной случайной величины вероятность точного равенства равна нулю.

Неравенство Чебышева может быть записано и в другой форме, применительно к противоположному событию:

. (5.9)

Неравенство Чебышева имеет для практики ограниченное значение, так как дает грубую оценку. Это неравенство полезно лишь при относительно больших ε. Теоретическое же значение очень велико.