Задача 8.3

Циркуляцией вектора по замкнутому контуру называется криволинейный интеграл II рода от скалярного произведения вектора на вектор бесконечно малого перемещения то есть

 

 

 

 

На контуре выберем обход против часовой стрелки, поскольку иное не оговорено в условии задачи.

В данной задаче поэтому

.

 

 

Используя свойство аддитивности криволинейного интеграла, будем вычислять интеграл по замкнутой ломаной как сумму интегралов по её частям.

Сводим каждый криволинейный интеграл к определенному интегралу:

на участке

уравнение

 

уравнение

– это значение циркуляции по

 

контуру вычисленное непосредственно.

 

По формуле Стокса:

 

 

где - это поверхность, опирающаяся на контур (l),

- единичный вектор нормали к поверхности, направленный так, чтобы с его конца обход по контуру был виден против часовой стрелки.

 

Вычислим

 

В качестве поверхности , опирающейся на контур , можно выбрать плоскость треугольника с единичным вектором нормали

(вычислялся в задаче 8.2).. Поэтому

- это значение искомой циркуляции, вычисленное по формуле Стокса и, естественно, совпадающее со значением, вычисленным непосредственно.

 

Отрицательное значение циркуляции указывает на то, что под действием данного векторного поля фактическое движение по контуру (ABC) будет осуществляться в противоположном направлении – по часовой стрелке.

 

Ответ к задаче 8.3:

 

Варианты всех задач

Задание 1

 

Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области D, ограниченной заданными линиями. Результаты решения вынести на чертеж области D.

№ варианта	Функция	Уравнения границ обл.D
		x = 0, y = 0, x + y = –5
		x = 1, y = –3, x + y = 2
		x = –1, y = –2, x + y = 1
		x = –1, y = 0, x + y = 3
		x = 0, y =4, x + y = –2
		x = –1, y = –1, y + x = 5
		x = – 3, y = – 1, x + y = 0
		x = –1, y = 2, x – y = 0
		x = 0, y = 0, x + y = 4
		x = 1, y = 3, x + y = –3
		x = 1, y = 0, x + y = –4
		x = 2, y = –4, x + y = 2
		x = –2, y = –1, x + y = 1
		x = –3, y = -1, x + y = 3
		x = 0, y =2, x + y = –2
		x = –1, y = 0, y + x = 5
		x = 3, y = – 1, x - y = 0
		x = –2, y = 2, x+ y = 0
		x = 1, y = 1, x + y = 4
		x = 3, y = 1, x + y = –3