Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Функция Ханкеля





Наряду с функциями Бесселя ν-го порядка Jv(x) большое значение для приложений имеют другие специальные виды решений уравнения Бесселя. К их числу относятся прежде всего функции Ханкеля 1-го и 2-го рода: и , являющиеся комплексно-сопряженными решениями уравнения Бесселя. С точки зрения физических приложений основной характеристикой функций Ханкеля является асимптотическое поведение при больших значениях аргумента. Поэтому мы определим функции Ханкеля как цилиндрические функции, обладающие следующей асимптотикой:

, (1)

, (2)

где точками обозначены более высокого порядка малости относительно 1/x. Условия (1), (2), в силу п.1.4, определяют и однозначно. Разделяя действительную и мнимую части, представим функции Ханкеля в виде

, (3)

, (4)

где функции

, (3′)

, (4′)

имеют асимптотический характер:

, (5)

, (6)

что следует из формул (1) и (2).

Введенная здесь функция Jν(x) является функцией Бесселя ν-го порядка. Мнимая часть Nν(x) функции Ханкеля называется функцией Неймана или цилиндрической функцией 2-го рода ν-го порядка.

Формулы (3) и (4) устанавливают связь между функциями Ханкеля, Бесселя и Неймана, аналогичную связи между показательной функцией мнимого аргумента, синусом и косинусом (формула Эйлера). Асимптотические формулы (1), (2), (5) и (6) подчеркивают эту аналогию.

При изучении решений уравнения колебаний

мы видели, что амплитуда U(x,y) установившихся колебаний

удовлетворяет волновому уравнению

.

Если решение волнового уравнения обладает радиальной симметрией: , то, как было отмечено в § 1, функция удовлетворяет уравнению Бесселя нулевого порядка.

Таким образом, функции

, (7)

, (8)

,

являются решениями уравнения колебаний, имеющими характер цилиндрических волн. Функция соответствует расходящимся цилиндрическим волнам, а функция — сходящимся цилиндрическим волнам.

Вторым важным свойством цилиндрических функций является их поведение при . Функции и Nν при обращаются в бесконечность (так как Jv(0) конечно), точнее,

,

так как ,

при , потому что Jv(x) ~ хν при .

Функции Ханкеля и Неймана нулевого порядка являются фундаментальными решениями уравнения

,

поскольку они имеют нужную логарифмическую особенность при

.

 






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 693. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия