Решение задач финансовой математики на основе ППП ExcelЗадача 1. В табл. 1 приведены поквартальные данные о кредитах, полученных от коммерческого банка на жилищное строительство (млн. руб.) за четыре года. Требуется построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания Таблица 1. Исходные значения заданного временного ряда
Решение: Проведем расчеты по алгоритму модели Хольта-Уинтерса. 1 0. Для оценки начальных значений Линейная модель имеет вид: Таблица 2. Расчет коэффициентов линейной модели
Определим значения коэффициентов линейной модели по формулам:
Подставив исходные фактические данные табл. 1, получим:
Линейная модель с учетом полученных коэффициентов имеет вид:
Из этого уравнения находим расчетные значения модели
Таблица 3. Значения заданного временного ряда и расчетной модели
Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов
Адаптивная мультипликативная модель Хольта-Уинтерса имеет вид:
где Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени
Значения параметров сглаживания: Тогда имеем следующие расчетные значения параметров модели: - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Для - для момента времени
Занесем полученные данные модели Хольта-Уинтерса в табл. 4. 2 0. Оценим адекватность построенной модели на основе исследования: - случайности остаточной компоненты по критерию пиков; - независимости уровней ряда остатков по d -критерию (пусть критические значения - нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4, 21. Условие случайности уровней остаточной компоненты Фактическое число поворотных точек Таблица 4. Расчетные данные по модели Хольта-Уинтерса
Таблица 5. Промежуточные расчеты для оценки адекватности модели
Если Проверим независимость уровней (отсутствие автокорреляции) ряда остатков По
Так как По первому коэффициенту автокорреляции
Так как Проверим соответствие ряда остатков Так как Таким образом, условия адекватности выполнены. 3 0. Оценим точность модели по средней относительной ошибке аппроксимации: Так как средняя относительная ошибка аппроксимации меньше 5%, то условие точности также выполнено. Следовательно, построенную модель можно использовать для прогноза. 4 0. Построим точечный прогноз на 4 шага (квартала) вперед:
Отобразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные, откуда видно, что расчетные данные хорошо согласуются с фактическими значениями, что говорит об удовлетворительном качестве прогноза.
Рис. 1. График фактических, расчетных и прогнозных данных модели Хольта-Уинтерса Задача 2. Пусть заданы цены торгов на фондовой бирже (максимальная, минимальная и закрытия, табл. 1) за 10 дней. Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Требуется провести расчет осцилляторов: экспоненциальной скользящей средней; момента; скорости изменения цен; индекса относительной силы; стохастических линий - %R, %K и %D. Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных. Таблица 1. Исходные данные по ценам торгов на фондовом рынке
Решение. Расчет показателей проведем по известному алгоритму.
1 0. Рассчитаем экспоненциальную скользящую среднюю по формуле:
где Коэффициент Вычислим экспоненциальные средние для 6-10 дней:
Экспоненциальная скользящая средняя является индикатором тренда. Из графика (рис. 1) видно, что 2 0. Рассчитаем момент по формуле: Получим следующие значения момента:
Рис. 1. График экспоненциальной скользящей средней
По графику момента (рис. 2) видно, что нулевая линия не пересекается, что говорит о необходимости ожидания изменения ситуации на рынке и подготовки к продаже. 3 0. Рассчитаем скорость изменения цен по формуле:
Рис. 2. График изменения момента
График ROC (рис. 3) также подтверждает ожидание изменения ситуации на фондовом рынке и подготовки к продаже. 4. Рассчитаем индекс относительной силы по формуле (табл. 2):
где
Рис. 3. График изменения скорости изменения цен ROC 2-й день: 3-й день: 4-й день: 5-й день: 6-й день: 7-й день: 8-й день: 9-й день: 10-й день: Таблица 2. Расчет значений параметров RSI
Из графика RSI (рис. 4) видно, что индекс относительной силы вышел из «зоны перекупленности» (80-100) в районе 9-10-го дня, это сигнал к продаже.
Рис. 4. График изменения индекса относительной силы
5 0. Расчет индексов стохастических линий
где
Таблица 3. Расчет значений осцилляторов
На графике (рис. 5) пр
|
; 
; 
. Оценить адекватность и точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации. Построить точечный прогноз на 4 квартала вперед, т.е. на пятый год. Отобразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.
и 
применим линейную модель к первым 8 значениям нашего временного ряда 
(табл. 2).
. Оценим коэффициенты линейной модели 
; 
; 
; 
.
;
;
;
.
.
и сопоставляем их с фактическими значениями временного ряда (табл. 3).
; 
;
; 
;
; 
;
; 
.
, 
, 
и 
для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные. В результате расчета получим:
;
;
.
,
- период упреждения; 
- расчетное значение экономического показателя для 
, 
и 
- коэффициенты модели; 
- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель; 
- период сезонности (для квартальных данных 
).
;
;
.
, 
:
- для момента времени 
:
;
;
.
.
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
;
.
;
:
;
.
;
:
;
.
;
:
;
.
;
:
;
.
;
:
;
.
;
:
;
.
и 
) или первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении 
;
проверим на базе критерия поворотных точек, сведя промежуточные расчеты в табл. 5.
в данной задаче р = 9. Расчетное число поворотных точек равно:
.
, то условие случайности уровней остатков ряда 
-критерию Дарбина-Уотсона имеем:
.
. Так как 
< 
имеем:
.
< 
, то уровни ряда остатков 
-критерию: 
. Из табл. 4 имеем: 
; 
. Тогда имеем: 
; 
; 
.
< 
< 
, то уровни ряда остатков 
. Тогда 
.
;
;
;
.
,
– значение экспоненциальной скользящей средней текущего дня 
– цена закрытия 
– коэффициент. Интервал сглаживания 
.
. Вычислим простую скользящую среднюю для первых 5 дней: 
.
;
;
;
;
.
пересекает ценовой график в районе 9-10-го дня снизу, что является сигналом к покупке.
, где 
– значение момента текущего дня 
– цена закрытия 
дней назад.
; 
;
; 
;
.
, где 
– значение скорости изменения цен текущего дня 
; 
;
; 
;
.
,
– сумма приростов(убыли) конечных цен за 
> 0 Þ в гр. 3;
< 0 Þ в гр. 4;
< 0 Þ в гр. 4;
> 0 Þ в гр. 3;
> 0 Þ в гр. 3;
> 0 Þ в гр. 3;
< 0 Þ в гр. 4;
> 0 Þ в гр. 3;
< 0 Þ в гр. 4.
;
7-й день: 
;
8-й день: 
;
10-й день: 
.
;
7-й день: 
;
9-й день: 
;
10-й день: 
.
;
;
;
;
.
, 
, 
по формулам: 
; 
;
,
- максимальная (минимальная) цена за 5 предшествующих дней, включая текущий.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
.
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
;
;
;
.
