На базе авторских компьютерных программ

Рост спроса специалистов на эффективные программные средства привел к появлению на рынке систем быстрой разработки (Rapid Application Development - среда быстрой разработки приложений). и Microsoft Visual Basic. Проиллюстрируем применение компьютерной авторской программы на базе Borland Delphi 7.0 для решения задач начисления процентов, относящихся к детерминированной финансовой математике.

Задачи начисления процентов. Принцип «неравноценности» денег в финансовой математике состоит в неправомерности суммирования денежных величин, относящихся к разным моментам времени [22]. В финансовых расчетах фактор времени - главный элемент при начислении процентов. В контрактах строго фиксируют соответствующие сроки, даты, периоды поступлений денежных средств или их выплат, и фактор времени значит не меньше, чем объемы обращения денег. Основное окно компьютерной программы приведено на рис. 1. Рассмотрим ряд ситуаций.

1. Пусть Р - первоначальная сумма денег, i - ставка простых процентов. Начисленные проценты за один период равны Pi, a за n периодов - Pni. Процесс изменения суммы долга с начисленными простыми процентами описывается арифметической прогрессией, членами которой являются величины: Р, Р + Pi = Р(1 + i), Р(1 + i) + Pi = Р(1 +2i), … Р(1 + ni). Первый член этой прогрессии - Р, последний член - . Тогда S = P + I; I = PnI.

Окно интерфейса компьютерной программы приведено на рис. 2.

Пример 1. Требуется рассчитать проценты и сумму накопленного долга, если ссуда равна 500000 руб., срок долга 3 года при ставке простых процентов, равной 10%.

Решение. По приведенным в п. 1 формулам находим:

I = 500000*3*0, 10 = 150000 руб. – проценты за 3 года;

S = 500000 + 150000 = 650000 руб. – наращенная сумма

Рис. 1. Главное окно приложения программ

Рис. 2. Окно программы для расчёта простых процентов

2. Процентные ставки изменяются во времени. В кредитных соглашениях часто предусматривают дискретно изменяющиеся во времени простые процентные ставки. Тогда наращенную сумму определяют как

.

3. На практике часто решают задачу, обратную наращению процентов, когда по заданной сумме S, соответствующей концу финансовой операции, находят исходную сумму Р. Расчет Р по S называют дисконтированием суммы S, величину Р, найденную дисконтированием, - современной величиной, или текущей стоимостью, суммы S, проценты в виде разности D = S - Р - дисконтом, или скидкой, а процесс начисления и удержания процентов вперед, в виде дисконта, - учётом.

Пример 2. В договоре, рассчитанном на 1 год, при первоначальной сумме депозита в 100000 руб. принята ставка простых процентов на первый квартал в размере 10%, а на каждый последующий – на 1% больше, чем в предыдущий. Найти множитель приращения за весь срок договора и наращенную сумму.

Решение. Множитель приращения рассчитаем как

J = (1 + ) = (1 + 0, 25*0, 1 + 0, 25*0, 11 + 0, 25*0, 12 + 0, 25*0, 13) = 1, 115;

Тогда получим, что S = P*J = 100000*1, 115 =111500 руб.

3. Математическое дисконтирование - решение задачи, обратной наращению первоначальной ссуды. Если в прямой задаче имеем , то в обратной - . Дробь правой части формулы называют дисконтным множителем, который показывает, какую долю первоначальная сумма ссуды составляет в конечной величине долга. Дисконт суммы S определяется как .

Пример 3. Через 180 дней после заключения договора должник уплатит 500000 руб. Кредит выдан под 15% обыкновенных годовых. Найти первоначальную сумму и дисконт.

Решение. Используя приведенные в п. 3 формулы, получим:

= 500000/(1 + 180/360*0, 15) = 500000/1, 075 = 465116, 28 руб.

= 500000 – 465116, 28 = 34883, 72 руб.

4. Операция учета векселей заключается в том, что банк до наступления срока платежа по векселю (или другому платежному обязательству) покупает его у владельца (кредитора) по цене ниже той суммы, которая должна быть выплачена по нему в конце срока, т.е. приобретает (учитывает) его с дисконтом. В расчете процентов при учете векселей применяют учетную ставку, обозначаемую d. Размер дисконта или учета, удерживаемого банком, рассчитывается как

D = Snd, P = S – D = S – Snd = S*(1 – nd).

Пример 4. Через 90 дней фирма должна получить по векселю 500000 руб. Банк приобрел этот вексель по учетной ставке 20% годовых (год принят равным 360 дням). Определить полученную фирмой сумму и дисконт.

Решение. По приведенным в п. 4 формулам получим:

D = Snd = 500000*90/360*0, 2 = 40000 руб.

Р = S – D = 500000 – 40000 = 460000 руб.

5. Начисление простых процентов обычно ведется в расчете по годам. При продолжительности ссуды менее года необходимо выяснить, какая часть процента уплачивается кредитору (рис. 3). Для этого величину n выражают как n = t/K, где n - срок ссуды, измеренный в долях года; К -число дней в году (временная база); t - срок операции (ссуды) в днях.

Применяют ряд вариантов расчета процентов с отличием выбора временной базы и срока ссуды. За временную базу берут год, условно состоящий из 360 дней (12*30 = 360), и вычисляют обыкновенный, или коммерческий, процент. Точный процентполучают при учете в базе реального числа дней в году - 365 или 366.

Расчет числа дней пользования ссудой ведется точно и приближенно. При точном расчете вычисляют фактическое число дней между двумя датами, при втором - продолжительность ссуды определяется числом месяцев и дней ссуды, при этом любой месяц равен 30 дней, в обоих случаях дату выдачи и дату погашения долга считают за один день. Варианты временной базы и подсчета дней ссуды дают схемы (рис. 3): точные проценты с точным числом дней ссуды (365/365 - британская практика); обыкновенные проценты с точным числом дней ссуды (365/360 - французская практика); обыкновенные проценты с приближенным числом дней ссуды (схема 360/360 - германская практика).

Пример 5. Ссуда в 500000 руб. выдана 21.03.2008 г. до 3.03.2008 г. при ставке простых процентов, равной 20% годовых. Найти проценты по британской, французской и германской схемам практик.

Рис. 3. Окно программы расчета простых процентов (срок ссуды менее года)

Решение. Используя приведенные в п. 5 формулы, получим:

1) К = 366; t = 41; I = 500000*0, 2*41/366 = 11202, 18 руб.;

2) K = 360; t = 41; I = 500000*0, 2*41/360 = 11388, 89 руб.;

3) K = 360; t = 43; I = 500000*0, 2*43/360 = 11944, 44 руб.

6. Если первоначальная сумма долга - Р, то через год сумма долга с присоединенными процентами составит Р(1 + i), через 2 года - Р(1 + i)(1 + i) = p(1 + i)², через n лет - Р(1 + i)ⁿ. Формула наращения для сложных процентов имеет вид: , где S - наращенная сумма; i - годовая ставка сложных процентов; n -срок ссуды; (1 + i)ⁿ - множитель наращения (рис. 4).

Пример 6. В кредитном договоре на сумму 5000000 руб. и сроком на 3 года зафиксирована ставка сложных процентов, равная 15% годовых. Рассчитать наращенную сумму.

Решение. Используя формулу п. 6, получим:

S = 5000000*(1 + 0, 15)³ = 7604375 руб.

7. Если ставка сложных процентов изменяется во времени, то наращенная сумма имеет вид: , где i₁, i₂ ,..., i_k - последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n₁, n₂, …, n_k (см. рис. 4).

Пример 7. В договоре применена переменная ставка сложных процентов в 20% годовых плюс маржа в 10% в первые два года, 8% маржа - в третий и 5% маржа - в четвертый год. Вычислить величину множителя наращения за четыре года.

Решение. Согласно формуле п. 7, имеем:

J = (1 + 0, 3)²*(1 + 0, 28)*(1 + 0, 25) = 2, 704.

8. Если годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году – m, то при каждом начислении проценты капитализируются (добавляются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами). Каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставку j называют номинальной, а начисление процентов по ставке ведется по формуле (см. рис. 4):

S = P(1 + j/m)^N,

где N - число периодов начисления (N = mn, может быть дробное число).

Пример 8. Кредит в 2 млн. руб. дан на 30 месяцев под сложные проценты в 20% годовых с ежеквартальным их начислением. Требуется определить наращенную сумму.

Решение. Так как принято ежеквартальное начисление процентов, то число кварталов равно N = 30/3 = 10, число периодов начисления в году m = 4. Тогда по формуле п.8 имеем: S = P(1 + j/m)^N = 2000000*(1 + 0, 2/4)¹⁰ = 3257789, 25 руб.

9. Эффективная ставкапоказывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m-разовое наращение в год по номинальной ставке. Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то имеем равенство для соответствующих множителей наращения и следующая связь эффективной и номинальной ставок:

(1 + i_эф)ⁿ = (1 + j/m)^mn,

где - эффективная, а j - номинальная ставка.

Отсюда получаем что i_эф= (1 + j/m)^m – 1; обратная зависимость, т.е. номинальная ставка определяется как j = m[(1 + i_эф)^1/m)- 1].

Пример 9. Определить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых. Какой должна быть номинальная ставка при тех же условиях начисления процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых?

Решение. По формуле п. 9 находим:

i_эф= (1 + j/m)^m – 1 = (1 + 0, 1/4)⁴ = 0, 1038, т.е. 10, 38%.

j = m[(1 + i_эф)^1/m)- 1] = 4*((1 + 0, 12)^1/4 – 1) = 0, 11495, т.е. 11, 55.

10. При непрерывном начислении процентов по ставке j наращенная сумма имеет вид: . Чтобы отличать ставку непрерывных процентов от ставок дискретных процентов, ее называют силой роста. С учетом введенного обозначения равенств j принимает вид: . Дискретные и непрерывные процентные ставки функционально зависимы, благодаря чему просто переходят от расчета непрерывных процентов к дискретным, и наоборот: . Фрагмент компьютерной программы вычисления этих процентов приведен на рис. 5.

10. Часто начальную Р и конечную S суммы задают в контрактах. Поэтому требуется определить либо срок платежа, либо процентную ставку, служащую в данном случае мерой сравнения с рыночными показателями и характеристикой доходности операции для кредитора. Эти величины находят по формулам наращения или дисконтирования.

Срок ссуды определяется следующим образом:

а) при наращении по сложной годовой ставке j - ;

б) по номинальной ставке процентов mраз в году - ;

в) при дисконтировании по сложной годовой учетной ставке d - ;

г) по номинальной учетной ставке mраз в году - ;

д) при наращении по постоянной силе роста - .

Рис. 4. Окно программы для расчета сложных процентов

При наращении применяют следующие процентные ставки: а) сложная годовая ставка ; б) номинальная ставка mраз в году - ; в) постоянная сила роста - ; г) дисконтирование по сложной учетной ставке d - ; д) дисконтирование по номинальной учетной ставке mраз в году - .

11. Инфляция ведет к падению покупательной способности денег, характеризуемой за период n индексом покупательной способности J_n, равным обратной величине индекса цен J_p: J_n = 1/J_p(J_p показывает, во сколько раз выросли цены за i-й интервал времени). Если наращенная за n лет сумма денег составляет S, а индекс цен - J_p, то реально наращенная сумма денег с учетом их покупательной способности - C = S/J_p. Если ожидаемый средний годовой темп инфляции (прирост цен за год) равен h, то годовой индекс цен - (1 + h). При наращении по простой ставке в течение n лет имеем, что реальное наращение при неизменном значении h составляет: и J_p = (1+h)ⁿ.

12. Наращенная по сложным процентам сумма к концу срока ссуды с учетом спада покупательной способности денег (в неизменных рублях) составит: . Известны два способа компенсации потерь от снижения покупательной способности денег при начислении сложных процентов:

1) корректировка ставки процентов, по которой производится наращение, на величину инфляционной премии. Считая, что годовой темп инфляции равен h, имеем равенство соответствующих множителей наращения с учетом брутто-ставки r: r = i + h + ih, т.е. инфляционная премия равна h + ih;

2) индексация первоначальной суммы Р. В этом случае сумма Ркорректируется согласно движению заранее оговоренного индекса J_p итогда имеем: S = PJ_p(1 + i)ⁿ.

13. В условиях инфляции реальную ставку процента находят по соотношению множителей наращения и по заданной (или объявленной) брутто-ставке r. При начислении простых процентов годовая ставка процентов определяется как , а сложных процентов как .

14. За рубежом проценты, получаемые кредитором или вкладчиком, облагаются налогом, что снижает величину реально получаемой наращенной суммы (рис. 7).

Обозначив наращенную сумму до уплаты налогов через S, после уплаты - через С при ставке налога g, при начислении простых процентов получаем сумму налога Ig = (S – P)g, тогда наращенная сумма после уплаты налогов имеет вид: С = P[1 + n(1 - g)i] (рис. 8, 9).

 

Рис. 5. Интерфейс программы и пример расчёта непрерывных процентов

Рис. 6. Окно программы для расчёта срока ссуды

 

Рис. 7. Окно программы для расчёта процентных ставок

Рис. 8. Окно программы для расчёта процентов при налогообложении

 

Рис. 9. Окно программы расчёта ставок процентов при учёте инфляции