Студопедия Главная Случайная страница Задать вопрос

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Явные разностные схемы для модельных уравнений




Для численного решения уравнения (19) используем следующее явное разностное уравнение , аппроксимирующее уравнение (19) с порядком . Проведем анализ устойчивости, отыскивая решение разностного уравнения в виде гармоники: (23). Здесь

, .Получим характеристическое уравнение . (24)

Для устойчивости разностного уравнения корни характеристического уравнения должны по модулю быть не больше единицы. Преобразуя уравнение (24) имеем:

. В результате получаем и схема является неустойчивой.

Для того, чтобы схема стала устойчивой, необходимо аппроксимировать оператор , учитывая знак числа и используя односторонние разности (схема против потока). Разностная схема

аппроксимирует уравнение (19) с порядком и условно устойчива. Характеристическое уравнение и

если . (25)

Условие (25) и есть условие устойчивости схемы, называемое условием Куранта-Фридрихса-Леви (CFL).

Повысить запас устойчивости первоначальной схемы можно и не уменьшая порядка точности. Для этого усредним первое слагаемое в правой части уравнения и рассмотрим следующую схему Лакса:

Схема условно устойчива, но с условной аппроксимацией.

Аналогично строятся разностные схемы и для уравнения (20) с вязким слагаемым. Разностная схема:

аппроксимирует (20) с порядком и условно устойчива при выполнении условия

.

Рассмотрим несколько явных разностных уравнений второго порядка аппроксимации по времени и по пространству. Это двухшаговые схемы Лакса-Вендрофа и Маккормака типа «предиктор-корректор».

Разностная схема Лакса-Вендрофа для уравнения (1) имеет следующий вид:

Здесь значения сеточной функции на дробном временном шаге.

Покажем, что схема второго порядка аппроксимации при выборе шага . Из первого уравнения выразим значения сеточной функции на дробном шаге и подставим во второе уравнение. Получим уравнение в целых шагах, эквивалентное исходному.

Преобразуя разностные операторы и заменяя , получаем следующую разностную схему ,

имеющую порядок аппроксимации .

Схема Лакса-Вендрофа условно устойчива. Условие устойчивости совпадает с условием устойчивости (25).

Модификации этой схемы, не требующие введения дробных шагов, предложены Маккормаком. Один из вариантов схемы Маккормака для нелинейного уравнения (21):

Порядок аппроксимации схемы Маккормака . Схема условно устойчива.

Замечания. После линеаризации схема Маккормака в целых шагах совпадает со схемой Лакса-Вендрофа, поэтому порядок аппроксимации у нее такой же, как и у схемы Лакса-Вендрофа.

Рассмотренные явные схемы имеют ограничения на временной шаг (условие CFL), что приводит к значительному увеличению расчетного времени. Для получения безусловно устойчивых схем необходимо использовать неявные аппроксимации исходных уравнений.






Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 230. Нарушение авторских прав

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2017 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия