Теорема Штейнера

У тому випадку, коли вісь обертання не співпадає з віссю симетрії, знаходити момент інерції можна за допомогою теореми Штейнера:

Момент інерції I відносно довільної осі дорівнює сумі моментів інерції I₀ відносно осі, паралельній даній і проходить через центр маси тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані а між осями.

. (1.46)

§13. Основне рівняння динаміки обертального руху

Нехай до деякого тіла, яке може обертатися відносно нерухомої осі O, прикладена сила F з плечем r (рис. 1.27). Визначимо кутове прискорення ε;, яке придбає тіло під дією цієї сили.

 

r

О

F

Рисунок 1.27.

Допустимо, що за час dt тіло повертається з кутовою швидкістю ω на кут dφ = ω dt, причому точка прикладення сили описує дугу dS=rdφ;. Робота, що здійснюється силою F за час dt, буде рівна Fds, або Frω dt. Ця робота йде на збільшення кінетичної енергії тіла.

, але .

Враховуючи, що момент сили М=Fr, отримуємо:

, або . (1.47)

Отримане рівняння називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі.

§14. Момент імпульсу. Закон збереження моменту імпульсу

Зважаючи на можливість зміни моменту інерції тіла під час обертання, основне рівняння динаміки обертального руху запишемо у такому вигляді:

.

З'ясуємо фізичний зміст величини Iω;. При обертальному русі тіла кожна його частка з масою m описує коло деякого радіусу r, маючи при цьому швидкість v (рис. 1.28). Добуток маси на швидкість mv - є імпульс цієї частки. Добуток імпульсу частки на найкоротшу відстань до осі обертання, тобто величина mvr, називається моментом імпульсу L частки відносно осі обертання.

Mv

r

O

Рисунок.1.28.

Узявши суму моментів імпульсу усіх часток, що становлять тіло, отримаємо момент імпульсу усього тіла.

.

Виносячи за знак суми загальний для усіх точок множник ω і враховуючи, що Σ mr² є моментом інерції тіла отримаємо:

. (1.48)

Таким чином, момент імпульсу твердого тіла відносно нерухомої осі дорівнює добутку моменту інерції на кутову швидкість.

Момент імпульсу розглядається як вектор, спрямований по осі обертання і співпадаючий по напряму з вектором кутової швидкості.

Тоді рівняння динаміки обертального руху можна записати у такому вигляді:

. (1.49)

Розглянемо окремий випадок, коли на тіло не діють зовнішні сили або вони такі, що їх рівнодійний момент відносно осі обертання дорівнює нулю.

Але, якщо зміна моменту імпульсу дорівнює нулю, сам момент імпульсу залишається постійний.

. (1.50)

Отже, якщо на тіло не діють зовнішні сили (чи результуючий момент їх відносно осі обертання дорівнює нулю), то момент імпульсу тіла відносно осі обертання залишається постійним. Цей закон носить назву закону збереження моменту імпульсу відносно осі обертання.

Наведемо декілька прикладів, що ілюструють закон збереження моменту імпульсу. Гімнаст, виконуючи сальто, підтискає до тулуба руки і ноги. Цим він зменшує свій момент інерції, а оскільки добуток Iω повинен залишатися незмінним, то кутова швидкість зростає, і в короткий проміжок часу, поки гімнаст знаходиться в повітрі, він устигає зробити один або декілька оборотів.

Кулька, прив'язана до нитки, що намотується на палицю; у міру того як зменшується довжина нитки, зменшується момент інерції кульки, отже, зростає кутова швидкість.

Зіставляючи рівняння, що характеризують закони динаміки обертального руху і порівнюючи їх із законами прямолінійного поступального руху, можна помітити, що формули, що визначають обертальний рух відносно нерухомої осі, аналогічні формулам для прямолінійного поступального руху.

У таблиці 1.3 зіставлені основні величини і рівняння, що визначають ці рухи.

Таблиця 1.3

Поступальний рух

Обертальний рух

Маса ··············································· m Шлях ············································· S Швидкість·········································· v Прискорення..................................................... a Імпульс·············································p=mv Сила.................................................................. F Основне рівняння ………………….. Робота.................................................dA=F·dS Кінетична енергія... ………..

I·····························Момент інерції φ ································Кут повороту ω ··························Кутова швидкість ε ······················Кутове прискорення L=Iω ·····················Момент імпульсу M ···························Момент сили ·············Основне рівняння dA=Mdφ ························Робота ···· ··· ·Кінетична енергія

Завдання:

1. Що називається моментом сили і моментом інерції тіла відносно нерухомої осі. Вкажіть одиниці виміру моменту сили, моменту інерції.

2. Що таке момент імпульсу матеріальної точки? Твердого тіла? Як визначається напрям моменту імпульсу?

3. Вивести формули моментів інерції обруча, суцільного циліндра, кулі.

4. У чому полягає фізична суть закону збереження моменту імпульсу? Наведіть приклади використання закону збереження моменту імпульсу.

5. Через нерухомий блок у вигляді суцільного циліндра масою 5 кг перекинутий шнур, до якого прив'язані вантажі масою 4 і 3 кг Визначити прискорення вантажів і силу натягнення шнура з боку кожного вантажу.(1 м/с², 36 Н, 30 Н)

6. З похилої площини почали одночасно скочуватися без ковзання суцільний циліндр і куля. Визначити відношення швидкостей циліндра і кулі у кінці похилої площини.
(v_ц / v_к = 1, 035)

7. Швидкість обертання маховика, момент інерції якого 2, 5 кг·м², в результаті гальмування рівномірно зменшилася за 1 хвилину від 300 об/хв до 150 об/хв. Визначити момент сили гальмування, кутове прискорення, роботу сили гальмування.
(0, 65 Н·м, 0, 26 Рад/с², 918 Дж).

8. Людина масою 70 кг стоїть на краю горизонтальної платформи масою 100 кг. Платформа обертається з частотою 10 об/хв. Вважаючи платформу однорідним диском, а людину точковою масою визначити з якою частотою почне обертатися платформа, якщо людина переходить в її центр?. (24 об/хв).

Розділ 2

ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНОЇ ФІЗИКИ І ТЕРМОДИНАМІКИ

Тема 5

Основні положення молекулярно-кінетичної теорії

Вивчаючи механіку, ми розглядали рух макроскопічних тіл (грец. " макрос" - великий). Це усі тіла, які нас оточують: будинки, машини, вода в океані і так далі. Нас цікавило, що відбувається з цими тілами і навколо них. Тепер нас цікавитиме також і те, що відбувається усередині тіл. На це питання нам допоможе відповісти розділ фізики, який називається молекулярно-кінетична теорія (МКТ). Вона пояснює фізичні явища і властивості тіл з точки зору їх внутрішньої мікроскопічної будови. У основі цієї теорії лежать три твердження:

1. Усі тіла складаються з малих часток (атомів і молекул), між якими є проміжки.

2. Атоми і молекули тіл постійно і безладно рухаються.

3. Властивості макроскопічних тіл пояснюються взаємодією молекул, з яких вони складаються.

Ці твердження називаються основними положеннями МКТ. Усі вони підтверджені численними експериментами. Розглянемо деякі з них.

 

§15. Дослідне підтвердження основних положень МКТ

Існування проміжків між частками

На рисунку 2.1 показано три мензурки. У одній мензурці налито 100 мл води, а в іншій - 100 мл підфарбованого спирту. Якщо перелити рідини з цих мензурок в третю об'єм суміші вийде не 200 мл, а менше: близько 190 мл Чому ж так відбувається?

 

Рисунок 2.1. Рисунок 2.2.

Встановлено, що вода і спирт складаються з найдрібніших часток, званих молекулами. Вони настільки малі, що не видні навіть в мікроскоп. Проте відомо, що молекули спирту в 2-3 рази більші за молекули води. Тому при зливанні рідин їх частки перемішуються, і дрібніші молекули води розміщуються в проміжках між більшими молекулами спирту. Заповнення цих проміжків і сприяє зменшенню загального об'єму речовин.

Малість розмірів часток речовини

Візьмемо декілька пробірок (рис. 2.2). У першу наллємо води і кинемо декілька кристалів марганцівки (перманганат калію). Перемішавши воду скляною паличкою, ми побачимо, що кристали розчинилися, а вода придбала рівномірне фіолетове забарвлення. Віділлємо частину розчину в другу пробірку і доллємо чистої води. Забарвлення розчину стане світліше, але після розмішування знову буде рівномірною. Дослід можна повторити багато разів, проте, при будь-якому розбавленні забарвлення розчину слабшає, але залишається рівномірним в об’ємі пробірки. Чому ж забарвлення розчину залишається рівномірним?

Подібно до води і спирту, марганцівка також складається з найдрібніших часток. Усі вони настільки малі, що їх не можна побачити " поодинці". Саме тому забарвлення розчину і здається нам рівномірним.