Резонансные кривые для амплитуды напряжения на конденсаторе, для амплитуды смещения в механической системе. Явление резонанса

 

Исследуем функцию (5.67) для различных значений угловой частоты внешнего напряжения .

1.ω =0: ,

т.е. постоянное напряжение, подаваемое в контур, представляет собой напряжение на конденсаторе или все резонансные кривые для частоты , равной нулю (), выходят из одной точки.

2. : ,

т.е. при больших частотах внешнего воздействия все резонансные кривые стремятся к нулю. Это связано с тем, что система не успевает за изменениями внешнего воздействия и амплитуда колебаний в контуре уменьшается.

3. . Найдем угловую частоту , при которой зависимость имеет максимальное значение. Оно будет наблюдаться в том случае, когда выражение под знаком квадратного корня в формуле (5.67) будет минимальным. Поэтому

. (5.69)

Подставляя в формулу (5.67), для максимального значения амплитуды напряжения на конденсаторе получим

. (5.70)

Величина получила название резонансной частоты. В условиях малого затухания (Q > > 1) для частоты можно записать

, (5.71)

т.е. амплитуда вынужденных колебаний напряжения на конденсаторе во много раз превышает амплитуду внешнего напряжения, подаваемого в контур. Это явление получило название явления резонанса. Под резонансом понимают явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты внешнего воздействия к частоте собственных свободных незатухающих колебаний системы.

На рис. 5.17, а приведены резонансные кривые для идеального колебательного контура () и для двух значений сопротивления R в нем (, т.е. ). При этом считается, что индуктивность L катушки и электроемкость C конденсатора контура не изменяются, т.е. частота при этом остается неизменной.

Можно отметить, что для идеального колебательного контура максимум резонансной кривой приходится на частоту , равную (), причем максимальное значение при этом стремится к бесконечности (рис.5.17, а). При увеличении сопротивления контура коэффициент затухания увеличивается, а максимальное значение и частота , на которую он приходится, уменьшаются (рис. 5.17, а).

Рис. 5.17

 

В случае механической системы резонансную кривую для амплитуды смещения груза (м.т.) от положения равновесия можно получить, используя табл. аналогий 5.1:

;

; ; . (5.72)

. (5.73)

Графики резонансных зависимостей от при различных значениях коэффициента затухания , т.е. при различных значениях коэффициента r сопротивления среды, и постоянной частоте приведены на рис.5.17, б.

 

5.10.3. Резонансные кривые для амплитуды силы тока в контуре,
для амплитуды скорости материальной точки в механической системе

 

Запишем формулу (5.68) для амплитуды силы тока в наиболее удобном виде

,

и исследуем эту зависимость для различных значений .

1.ω =0: , т.е. постоянный электрический ток через цепь, содержащую конденсатор, не протекает.

2. : .

3. Максимум функции наблюдается тогда, когда подкоренное выражение в знаменателе будет минимальным, т.е. первое слагаемое в подкоренном выражении должно быть равным нулю. Поэтому максимум соответствует частоте , а само максимальное значение будет равно

. (5.74)

На рис. 5.18 приведены резонансные кривые в случае идеального колебательного контура () и для двух разных значений сопротивления в нем (, т.е. ) при постоянном значении . Как видно, максимум функции с увеличением уменьшается, а его смещение по оси частот не происходит.

Используя табл. аналогий 5.1, можно записать формулы, описывающие резонансные кривые для амплитуды колебаний скорости тела (м.т.) в механической системе:

, (5.75)

: . (5.76)

График для трех значений коэффициента сопротивления () среды приведены на рис. 5. 18, б. Эти графики аналогичны графикам резонансных кривых .

Рис. 5.18