Примеры решения задач

 

6-1п. В краткосрочном периоде фирма может изменять ве­личину используемых трудовых ресурсов, но не может влиять на величину используемого капитала. Таблица 6-1 показывает, как может изменяться выпуск продукции вследствие измене­ния объемов применяемого труда.

Таблица 6-1

Затраты труда, L	Затраты капитала, К	Объем выпуска продукции, Q	Средний продукт труда, APL	Предельный продукт труда, MPL

а) Определите средний продукт труда (AP_L) и предельный продукт труда (MP_L). Полученные результаты впишите в таб­лицу.

б) Предположим, что менеджер фирмы решил заменить старое оборудование новым, более эффективным. Изменится ли при этом положение кривых AP_L и MP_L. Аргументируйте ваш ответ.

 

Решение

а) Величина среднего продукта переменного фактора (АР), в данном случае труда, определяется по формуле: Авеличина предельного продукта переменного фактора (МР) (труда) рассчитывается следующим образом:

б) Положение кривых AP_L и MP_L изменится, так как каждая единица труда будет приносить больший результат. В итоге кривые сместятся вверх и, возможно, изменят свою форму.

Таблица 6-2

Затраты труда, L	Затраты капитала, К	Объем выпуска продукции, Q	Средний продукт труда, APL	Предельный продукт труда, MPL
			–	–

 

6-2п. Максимизировать выпуск при фиксированных за­тратах, если на сегодня положение представлено в таблице 6-3.

Таблица 6-3

L	K	РL	РК	ТС	Q(L, К)
6	8	10	5	100	LК+2L+4К

а) в мгновенном периоде;

б) в краткосрочном периоде при фиксированных затратах капитала и неизменных ценах;

в) в долгосрочном периоде.

 

Решение

а) В мгновенном периоде изменить ничего нельзя, и потому максимум совпадает с существующим положением:

LК+2L+4К=48+12+32=92.

б) В краткосрочном периоде при фиксированных затратах капитала и неизменных ценах результат будет, очевидно, тем же: Q=Qmах=92.

в) В долгосрочном периоде начинается настоящая оптими­зация, так как подвижными становятся и затраты труда, и затраты капитала. Необходимо решить задачу на максимум функции

LК+2L+4К → Мax при 10L+5К=100.

Подставим вытекающее из ограничения выражение К=20-2L в максимизируемую функцию и получим стандартную математическую задачу на максимум квадратичной функции L(20-2L)+40-8L+2L. Приравняв производную этой квадратичной функции к нулю, получим 14-4L=0, т. е. L=3, 5; К=13.

В результате Qmax=104, 5.

Ответ: При условиях а) и б) положение останется без изменений,

Q=Qmax=92.

в) L=3, 5, К=13, Qmax=104, 5.

 

6-3п. Найдите точки, принадлежащие изокванте с уровнем выпуска, равным 100, по данным о производственной фун­кции Q(L, К), представленным в таблице 6-4.

Таблица 6-4

Затраты труда, L	Затраты капитала, К

Решение

 

Изокванта Q=100 содержит точки, приведенные в таблице 6-5.

Таблица 6-5

L
К

Ответ: Изокванте с уровнем выпуска 100 принадле­жат точки:

(L=10, К=50), (L=20, К=30), (L=30, К=20), (L=50, К=10).

 

6-4п. Производственная функция Q=5L^{0, 5}K, где L – расход труда, К – расход капитала. Найдите предельный продукт капитала, если рас­ход труда равен 4, расход капитала равен 7.

 

Решение

 

В теории производства традиционно используется двухфакторная производственная функция вида Q=f(L, К) и чаще всего так называе­мая функция Кобба-Дугласа,

В общем виде она записывается следующим образом:

Q=a₀L^а1K^а2,

где L – затраты труда; К – затраты капитала; а₀ – коэффициент про­порциональности; a₁ – коэффициент эластичности выпуска по труду; а₂ – коэффициент эластичности выпуска по капиталу.

Коэффициенты а₁ и а₂ характеризуют относительный прирост выпуска продукции на единицу относительного прироста затрат труда (L) и капитала (К)соответственно.

Предельный продукт переменного фактора производства, в данном случае капитала (МР_К) – это дополнительный выпуск продукции, вызванный применением одной дополнительной единицы переменного ресурса (капитала):

Если Q=5L^{0, 5}K и L=4, а К=7, то МР_К = 5L^{0, 5}= 5 х 2 = 10.

 

Ответ: МР_К = 10.

 

6-5п. Производственная функция Q=5L^{0, 8}K^{0, 2}. Издержки производителя равны 30. Цена труда 4, капитала 5. Найдите равновесный расход ресурсов.

 

Решение

а) MRTS=0, 81L^{-0, 2}К^{0, 2}/0, 2L^{0, 8}K^{-0, 8}, или MRTS=4K/L;

б) в точке равновесия 4K/L=4/5;

в) запишем уравнение изокосты: 4L+5К=30;

г) составим систему уравнений, взятых из пунктов 2 и 3,

ее реше­ние: L=6, К=1, 2 – равновесный расход ресурсов.

 

Ответ: L=6, К=1, 2.

6-6п. Подсчитайте средний и предельный продукт фирмы, если известны следующие данные (таблица 6-6):

Таблица 6-6

Число рабочих, чел.
Совокупный продукт, шт.

Когда начинает действовать в данном случае убывающая эко­номия от масштаба?

Решение

 

Если число рабочих – это затраты труда L,

а совокупный продукт – Q, то AP_L=Q/L; MP_L=(Q_i-Q_i-1).

Таблица 6-7

L
Q
APL			33, 3
MPL

 

Экономия от масштаба начинает снижаться после того, как число работников превысит 2.

Ответ: убывающая эко­номия от масштаба начинает действовать после найма второго работника.

6-7п. Фирма использует в производстве товара капитал (К) и труд (L), при этом МР_К=8, a MP_L=20. Цены единиц факторов: Р_к=4; P_L=10. Является ли оп­тимальным использование ресурсов фирмой с точки зрения минимизации издержек?

Решение

Правило мини­мизации издержек для каждого заданного объема выпуска продукции следующее: оп­тимальное сочетание факторов, используемых в процессе производ­ства, достигается тогда, когда последний затраченный рубль на покуп­ку каждого фактора дает одинаковый прирост общего выпуска продук­ции. То есть

Ответ: использование ресурсов фирмой является оптимальным.

6-8п. Производственная функция фирмы равна Q=K^1/4L^3/4. Цена капитала равна 4 тыс. руб. Цена труда равна 12 тыс. руб. Какое количество капитала и труда должна иметь фирма для выпуска 300 тыс. единиц?

Решение

K^1/4L^3/4=300.

Решаем систему и получаем: К = 300; L = 300.

Ответ: К = 300; L = 300.

 

 

6-9п. Почему средний продукт труда продолжает увеличи­ваться после прохождения точки начала уменьшения предельной производительности?

Решение

Средний продукт труда достигает максимума, когда предельный продукт труда равен среднему. Если используется меньше, чем L*, единиц труда, то предельный продукт больше среднего и средний продукт возрастает. Если используется больше единиц труда, чем L*, то предельный продукт труда меньше среднего и средний про­дукт падает (рис. 32.).   Рис. 32.

6-10п. Предположим, что фирма увеличивает капитал со 100 до 150 еди­ниц, труд – с 400 до 600 единиц. Выпуск продукции при этом воз­растает с 300 до 350 единиц. Какова в данном случае будет отдача от масштаба (возрастающая, постоянная или убывающая)?

Решение

 

Эффект масштаба проявляется в снижении долговременных средних из­держек производства на единицу продукции. Первоначальное соот­ношение труда и капитала составляло: 400/100 = 4/1.

Затем капитал увеличился на

(150 - 100)/100 = 1/2; труд на (600 - 400)/400 = 1/2.

Выпуск продукции возрос на (350 - 300)/300 = 1/6.

То есть имеет место отрицательный эффект масштаба (рис. 33.).

Рис. 33.

Ответ: отрицательный эффект масштаба.

6-11п. В таблице 6-10 представлена основная информа­ция о производстве фирмы при найме переменно­го количества труда и фиксированном количестве капитала.

а) Рассчитайте предельный продукт труда (МР_L).

б) Если продукт может быть продан на рын­ке по цене 5 долл. за единицу, рассчитайте TR и впишите в таблицу 6-8. Рассчитайте также и впишите значения MRP_L.

в) Начертите кривую MRP_L фирмы. По верти­кальной оси откладывайте значение MRP_L в долл., а по горизонтальной – занятость. Нанесите пре­дельные значения шкалы на равном расстоянии от средних точек в интервалах шкалы горизонтальной оси.

Таблица 6-10

Количество труда (L), чел.	Совокупный выпуск (Q), шт.	Предельный продукт труда (МРL), ед.	Совокупный доход (TR), долл.	Предельная доходность труда (MRPL), долл.

 

г) Используя полученные данные, заполните графу спроса фирмы на труд в таблицу 6-11. Есть ли какая-либо разница между кривой MRP_L фирмы и кривой спроса на труд?

Таблица 6-11

Ставка заработной платы (w), долл.
Объем спроса на труд (DL), чел.

Решение

 

Величина предельного продукта труда (МР_L) рассчитывается по формуле:

А совокупный доход по следующей формуле:

,

где Р – цена продукта (долл.), Q – совокупный выпуск (шт.).

Предельная доходность труда определяется следующим образом:

Заполним таблицу 6-12 целиком.

а, б)

Таблица 6-12

Количество труда, чел.	Совокупный выпуск, шт.	Предельный продукт труда (МРL), ед.	Совокупный доход (TR), долл.	Предельная доходность труда (MRPL), долл.
		–		–

 

в) Кривая MRP_L фирмы приведена на рисунке 34.

Рис. 34.

Отрицательный наклон кривой MRP_L связан с действием закона убывающей предельной производительности фактора, а ее расположение определяется уровнем предельной производительности фактора (MP_L) и ценой произведенного продукта (Р).

 

г) Кривая спроса фирмы на один переменный фактор (L) совпадает с кри­вой его предельного продукта в денежной форме (MRP_L), так как любая точка на данной кривой показывает число занятых, используемых фирмой при каждом заданном уровне ставки заработной платы (w).

Таблица 6-13

Ставка заработной платы (w), долл.
Объем спроса на труд (DL), чел.

Ответ: а, б) МР_L: 17, 15, 13, 11, 9, 7, 5, 3, 1;

TR: 0, 85, 160, 225, 280, 325, 360, 385, 400, 405;

MRP_L: 85, 75, 65, 55, 45, 35, 25, 15, 5.

г) D_L: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

кривая спроса фирмы на один переменный фактор (L) совпадает с кри­вой его предельного продукта в денежной форме (MRP_L).