Дифференциальное исчисление

функций двух переменных

3.1. Дифференцируемость функции в точке

Определение 1. Функция двух переменных f (x, у), определенная в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀), называется дифференцируемой в этой точке, если приращение функции в этой точке можно представить в виде:

D f = AD x +ВD у +a(D x, D у)D x +b(D x, D у)D у, где А и В – числа, а a(D x, D у) и b(D x, D у) – бесконечно малые при D x ®0 и D у ®0. Главную линейную часть этого выражения – сумму AD x +ВD у – называют дифференциалом функции f (x, у) в точке (х ₀, у ₀) и обозначают d f.

Из этого определения следует, что если функция f (x, у) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то в этой точке

=А+a(D x, 0) и =В+b(0, D у). Тогда существуют пределы: = А и = В.

Определение 2. Пусть функция f (x, у) определена в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀). Если в этой точке существует , то он называется частной производной по х данной функции в данной точке и обозначается . Аналогично = – частная производная по у. Таким же образом определяются частные производные для функции любого числа переменных.

Итак, справедлива следующая теорема.

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости функции в точке). Если функция f (x, у) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то в этой точке существуют частные производные и .

Замечание. Значит, d f = D x + D у. Так же, как для функций одной переменной, можно показать, что d x =D x и d y =D у, то есть d f = d x + d y.

Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f (x, у) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Поскольку для дифференцируемой функции D f =AD x +ВD у +a(D x, D у)D x +b(D x, D у)D у, где А и В – числа, а a(D x, D у) и b(D x, D у) – бесконечно малые при D x ®0 и D у ®0, то D f является бесконечно малой при D x ®0 и D у ®0. А значит, согласно замечанию 1 из предыдущего пункта, функция f (x, у) непрерывна в точке (х ₀, у ₀), ч.т.д.

Примеры. 1)Пусть f (x, у) = . Эта функция непрерывна на всей плоскости и, в частности, в точке (0; 0). Приращение D _хf в этой точке равно , то есть ï D x ï. Поэтому отношение D _хf к D x равно 1 или –1 в зависимости от знака D x, и предел этого отношения при D x ®0 не существует. Отсутствие частной производной по х означает, что функция не дифференцируема в точке (0; 0). Таким образом, непрерывность является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости.

2)Пусть f (x, у) = х ³ у +sin(x ²+ )+tg x +ln y. Найдем частные производные этой функции. Поскольку при вычислении частной производной по одному из аргументов другой аргумент не меняется, то достаточно найти обычную производную, считая второй аргумент константой. Тогда получим: = 3 x ² у +cos(x ²+ )^.(2 x +0)+ +0 =3 x ² у +

2 x cos(x ²+ )+ ; = х ³+cos(x ²+ ) + .

3)Пусть f (x, у)= . Найдем дифференциал этой функции в точке (2; 1), если d x =0, 1, d y = –0, 2. Имеем: = ,

= – . Значит, в данной точке =1, = –2. Поэтому d f =1^.0, 1+(–2)(–0, 2)=0, 5.

4)Пусть =6 х ⁵ у ²+ , =2 х ⁶ у +cos y. Тогда функцию f (x, у) можно найти как первообразную функции 6 х ⁵ у ²+ , считая сначала у постоянным. Получим, что f (x, у)= х ⁶ у ² +lnï x ï +С; только С здесь – не константа, а некоторая функция, не зависящая от х, то есть С=С(у). Если f (x, у)= х ⁶ у ² +lnï x ï +С(у), то =2 х ⁶ у + , поэтому 2 х ⁶ у + =2 х ⁶ у +cos y, =cos y, С(у)=sin y +C, где С – уже обыкновенная константа. Итак, f (x, у)= х ⁶ у ²+lnï x ï +sin y +C. Мы нашли функцию по ее частным производным. В разделе VII будет показано, что эта задача разрешима не всегда: частные производные нельзя задавать произвольно.

5)Уравнение F(x, y)=0 неявно задает у как функцию х. Пусть функция F дифференцируема; будем для краткости обозначать и соответственно F _x и F _y. Можно показать, что если F _y ¹ 0, то функция у (х) дифференцируема и . Например, для функции у (х), неявно заданной уравнением cos(x + y)+ y =0, = . Точно так же уравнение F(x, y, z)=0 неявно задает z как функцию х и у. Можно показать, что если функция F дифференцируема, причем F _z ¹ 0, то функция z (х, y) дифференцируема, z_x = и z_у = . Например, для функции z (х, y), неявно заданной уравнением x + y + z – xyz =0, z_x = и z_у = . ·

3.2. Достаточное условие дифференцируемости

Пример. Пусть f (x, y)= . Как было показано выше, эта функция не является непрерывной в точке (0; 0), а следовательно, не дифференцируема в этой точке. С другой стороны, частные приращения функции в точке (0; 0) равны нулю, а значит, обе частные производные равны нулю. Таким образом, существование частных производных не является достаточным условием дифференцируемости. ·

Теорема 3 (достаточное условие дифференцируемости функции в точке). Если функция f (x, у) имеет в точке (х ₀, у ₀) непрерывные частные производные, то она дифференцируема в этой точке.

Доказательство. D f = f (x ₀+D x, y ₀+D y)– f (x ₀, y ₀)=

(f (x ₀+D x, y ₀+D y)– f (x ₀+D x, y ₀))+(f (x ₀+D x, y ₀) –f (x ₀, y ₀)). Пусть u (y) = f (x ₀+D x, y), v (x)= f (x, y ₀). Тогда u ¢ (y)= f_y (x ₀+D x, y), v ¢ (x)= f_x (x, y ₀). Применив к этим функциям теорему Лагранжа, получим: D f = f_y (x ₀+D x, с ₁)D y + f_x (с ₂, y ₀)D х, с ₁ лежит между y ₀ и y ₀+D y, а с ₂ – между х ₀ и х ₀+D х. Поскольку f_y и f_х непрерывны в точке (х ₀, у ₀), то f_y (x ₀+D x, с ₁)= f_y (x ₀, у ₀)+b(D x, D y) и f_x (с ₂, y ₀)= f_х (x ₀, у ₀)+ a(D x, D y), где a(D x, D y) и b(D x, D y) – бесконечно малые при D x ®0 и D y ®0. Значит, D f =(f_y (x ₀, у ₀)+b(D x, D y))D y + (f_х (x ₀, у ₀)+

a(D x, D y))D х = f_х (x ₀, у ₀)D х + f_y (x ₀, у ₀)D y +a(D x, D y)D х +b(D x, D y)D y, то есть f (x, у) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), ч.т.д.

3.3. Применение дифференциала

1^о. Так же, как для функции одной переменной, дифференциал функции двух переменных можно использовать для приближенных вычислений:

f (х ₀+D x, у ₀+D у)» f (х ₀, у ₀) + D x + D у. (*)

Пример. Найдем приближенно . Это число является значением функции f (x, у)= при х =1, 03, у =1, 98. Поскольку 1, 03=1+0, 03, 1, 98=2–0, 02, то = f (х ₀+D x, у ₀+D у), где x ₀=1, у ₀=2, D x =0, 03,

D у = –0, 02, f (x ₀, у ₀) = =3. Так как f_х¢ (х, у)= и f_у¢ (х, у)= , то f_х¢ (х ₀, у ₀)= и f_у¢ (х ₀, у ₀)=2. Подставляя найденные значения в формулу (*), получим: »3+ ^.0, 03+2^.(–0, 02) = 2, 97.·

2^о. Рассмотрим поверхность z = f (x, y), где функция f (x, y) дифференцируема в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀). Можно доказать (мы этого делать не будем), что уравнение касательной плоскости к поверхности в точке (х ₀, у ₀, z ₀), где z ₀= f (х ₀, у ₀), имеет вид:

z – z ₀= f_х¢ (х ₀, у ₀)(x – x ₀)+ f_у¢ (х ₀, у ₀)(у – у ₀).

Таким образом, нормальный вектор касательной плоскости имеет координаты (f_х¢ (х ₀, у ₀); f_у¢ (х ₀, у ₀); –1). Отсюда получаем уравнение нормали к поверхности в точке (х ₀, у ₀, z ₀), где z ₀= f (х ₀, у ₀):

= = .

Замечание. Если поверхность задана уравнением F(x, y, z)=0, причем функция F(x, y, z) дифференцируема в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀, z ₀), то уравнения касательной плоскости и нормали в этой точке приобретают вид: F _х¢ (х ₀, у ₀, z ₀)(x – x ₀)+F _у¢ (х ₀, у ₀, z ₀)(у – у ₀)+F _z¢ (х ₀, у ₀, z ₀)(z – z ₀)=0;

= = .

Пример. Составим уравнение касательной плоскости и нормали к сфере x ²+ y ²+ z ²–16=0 в точке (2, 2, 2 ). Здесь F(x, y, z)= x ²+ y ²+ z ²–16, F _х¢ (х, у, z)=2 х, F _у¢ (х, у, z)=2 у, F _z¢ (х, у, z)=2 z, х ₀=2, у ₀=2, z ₀=2 . Поэтому F _х¢ (х ₀, у ₀, z ₀)=4, F _у¢ (х ₀, у ₀, z ₀)=4, F _z¢ (х ₀, у ₀, z ₀)=4 . Уравнение касательной плоскости:

4(x –2)+4(y –2)+4 (z –2 )=0, или x + y + z –8=0.

Уравнение нормали: = = .·

3.4. Дифференцирование сложной функции

Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 4 (о дифференцировании сложной функции). Пусть функции u = u (x, y) и v = v (x, y) имеют непрерывные частные производные в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀), а функция z = f (u, v) – в некоторой окрестности точки (u ₀, v ₀), где u _o= u (x _о, y _о), v _o= v (x _о, y _о). Тогда сложная функция z (x, y)= f (u (x, y), v (x, y)) дифференцируема в точке (х ₀, у ₀), причем = ^. + ^. , = ^. + ^. .

Примеры. 1) Пусть z = u ²+ v ³, u = , v = . Тогда по формулам теоремы 4 получаем: =2 u ^. +3 v ^2. , =2 u ^. –3 v ^2. . Подставляя выражения для u и v, получим: =2 ^. +3 ^. = + ; =2 ^. –3 ^. = – .

2) Пусть z =ln t, t =sin x +cos y. Тогда по формулам теоремы 4 получаем: = ^. , = ^. , то есть = ^.cos x =

, = – ^.sin y = .·

3.5. Производная по направлению. Градиент

Определение 3. Пусть функция z = f (x, y) определена в

некоторой окрестности точки Р₀(х ₀, у ₀), l – луч с началом в

точке Р₀, точка Р(х, у) принадлежит l. Длину отрезка Р₀Р обозначим D l, разность f (x, y)– f (х ₀, у ₀) обозначим D f. Если существует , то он называется производной функции f (x, y) по направлению l в точке Р₀ и обозначается .

Замечание. Частные производные и можно тогда рассматривать как производные по направлениям О х и О у соответственно.

Теорема 5. Если функция z = f (x, y) имеет в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) непрерывные частные производные, то в этой точке функция имеет производную по любому направлению, причем = cosa+ cosb (где a и b – углы направления l с осями О х и О у соответственно).

Доказательство. Запишем D f в виде f (x ₀+D х, у ₀+D у)– f (x ₀, у ₀+D у)+ f (x ₀, у ₀+D у)– f (х ₀, у ₀)=D _хf (x ₀, у ₀+D у)+D _уf (x ₀, у ₀). Тогда = + . Заметим, что D l =

= , т.е. = + . Поскольку D l ®0 тогда и только тогда, когда D х ®0 и D у ®0, то = + . Так как функция дифференцируема в окрестности точки (х ₀, у ₀), то это равенство можно переписать так: =

+ . Используя непре-

 

рывность частной производной , окончательно получаем: = + , то есть = + , ч.т.д.

Определение 4. Если функция z = f (x, y) имеет в точке (х ₀, у ₀) частные производные, то градиентом функции в этой точке называется вектор grad f =(, ).

Замечание. Пусть =(cosa, cosb) – орт направления l. Тогда из теоремы 5 получаем, что = grad f ^. . Из неравенства Коши-Буняковского следует, что производная по направлению будет максимальной (равной модулю градиента), если векторы grad f и – сонаправленные. Таким образом, направление градиента – это направление наибольшей скорости изменения функции.

3.6. Частные производные высших порядков

Определение 5. Пусть функция z = f (x, y) имеет в некоторой окрестности точки (х ₀, у ₀) частные производные и . Тогда частные производные этих функций называются вторыми частными производными функции f (x, y).

Частных производных второго порядка существует, вообще говоря, четыре:

= f_x ¢ (), = f_у ¢ (), = f_x ¢ (), = f_у ¢ ().

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и других порядков.

Пример. 1) Для функции f (x, y)= x ² y ³ найдем : =2 ху ³, =6 ху ², =12 ху.

2) Для функции f (x, y)=sin(x ²+ y ³) найдем и : =cos(x ²+ y ³)^.2 x, = –2 x sin(x ²+ y ³)^.3 y ²= –6 xy ²sin(x ²+ y ³);

=cos(x ²+ y ³)^.3 y ², = –3 y ²sin(x ²+ y ³)^.2 x =–6 xy ²sin(x ²+ y ³).·

В рассмотренном примере смешанные частные производные второго порядка и совпали. Следующая теорема, которую мы примем без доказательства, указывает достаточное условие такого совпадения.

Теорема 6. Если функция f (x, y) имеет в некоторой точке непрерывные частные производные второго порядка, то в этой точке = .