Задание 1. 1. Построить вариационный ряд с равными интервалами для «Показателя 1».

 

1. Построить вариационный ряд с равными интервалами для «Показателя 1».

2. Рассчитать показатели, характеризующие центр группирования вариационного ряда (среднее арифметическое, моду, медиану).

3. Рассчитать показатели вариации (размах, среднее квадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации).

4. Рассчитать показатели, характеризующие вид вариационного ряда (асимметричность и эксцесс).

5. Оценить соответствие вариационного ряда нормальному распределению.

6. Для каждой группы определить долю районов в общей численности и доля «Показателя 1» в его суммарном объеме.

7. Построить кривую Лоренца, рассчитать показатели концентрации (коэффициенты Джини, Лоренца, Герфиндаля).

8. Преобразовать полученный вариационный ряд с равными интервалами в равнонаполненный вариационный ряд, содержащий четыре группы.

9. Сделать выводы.

 

 

1.1. Построение вариационного ряда с равными интервалами для показателя «Площадь лесного фонда»

 

Оптимальное количество групп находим по формуле Стерджесса:

Построим интервальный ряд распределения районов по площади лесного фонда, образовав 6 групп с равными интервалами.

Ширина интервала составит:

Получим следующие границы интервалов группировки:

Таблица 3

Границы интервалов группировки

№ п/п	Нижняя граница	Верхняя граница
	1,1	222,6
	222,6	444,1
	444,1	665,6
	665,6	887,1
	887,1	1108,6
	1108,6	1330,3

 

Подсчитываем количество районов, попадающих в каждую группу, и строим вариационный ряд распределения.

Таблица 4

№ п/п	Площадь лесного фонда тыс. га.	№№ районов	Число районов
	1,1-222,6	1,2,4,6,7,8,9,10,11,12,13,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,26,29
	222,6-444,1	5,14,25
	444,1-665,6	-
	665,6-887,1	3,2,30
	887,1-1108,6	-
	1108,6-1330,3
	Итого	-

 

1.2. Расчет показателей, характеризующих центр группирования вариационного ряда

 

Определим среднюю площадь лесного фонда, для каждой группы как середину соответствующего интервала. Вычислим накопленные частоты по числу районов:

Таблица 5

№ п/п	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Число районов (частота), fi	Средняя площадь лесного фонда, тыс. га., xi	xi · fi	Накопленная частота
по числу районов, Si	% к итогу
	1,1-222,6		111,85	2796,25		78,1
	222,6-444,1		333,35	1000,05		87,5
	444,1-665,6		554,85			87,5
	665,6-887,1		776,35	2329,05		96,9
	887,1-1108,6		997,85			96,9
	1108,6-1330,3		1219,35	1219,35
	Итого		-	7344,7	-	-

 

Среднюю площадь лесного фонда, определим по формуле средней арифметической взвешенной:

тыс. га.

Моду определим по формуле:

где х_мо – нижняя граница модального интервала;

h_мо – величина модального интервала;

f_мо,f_мо-1,f_мо+1 – частоты в модальном, предыдущем и следующим за модальным интервалах (соответственно).

Модальным интервалом построенного ряда является интервал

1,1-222,6, т.к. он имеет наибольшую частоту (f ₁=25).

тыс. га.

Наиболее часто встречаются районы с площадью лесного фонда, 111,85 тыс. га.

Медиана:

где х_ме – нижняя граница медианного интервала;

i_ме – величина медианного интервала;

– половина от общей численности частот;

S_{ме -1}– накопленная частота до начала медианного интервала;

Медианным интервалом является интервал 1,1-222,6, т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j =25 впервые превышает полусумму всех частот .

тыс. га.

В половине районов с площадью лесного фонда района, менее 142,86 чел., а другая половина – более 142,86 тыс. га.

 

 

1.3. Расчет показателей вариации

 

Дисперсия:

где

Таблица 6

№ п/п	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Число районов (частота), fi	Средняя площадь лесного фонда, тыс. га., xi
	1,1-222,6		111,85	12512,46	312811,5
	222,6-444,1		333,35	111122,22	333366,66
	444,1-665,6		554,85	307858,52
	665,6-887,1		776,35	602719,32	1808157,96
	887,1-1108,6		997,85	995704,62
	1108,6-1330,3		1219,35	1486814,42	1486814,42
	Итого		-		3941150,54

 

Средняя величина из квадратов средней площади лесного фонда:

Дисперсия будет равна:

Среднее квадратическое отклонение:

тыс. га.

Коэффициент вариации:

 

1.4. Расчет показателей, характеризующих вид вариационного ряда

 

Для определения асимметричности A_S и эксцесса (крутости) E_X вариационного ряда предварительно определим центральные моменты третьего и четвертого порядка:

Таблица 7

№ п/п	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Число районов (частота), fi	Средняя площадь лесного фонда, тыс. га., xi
	1,1-222,6		111,85	-117,672	-40734091,02
	222,6-444,1		333,35	103,8281	3357888,635	348643280,9
	444,1-665,6		554,85	325,3281
	665,6-887,1		776,35	546,8281	490539275,5	2,68241E+11
	887,1-1108,6		997,85	768,3281
	1108,6-1330,3		1219,35	989,8281	969793723,7	9,59929E+11
	Итого		-			1,23331E+12

 

Центральный момент третьего порядка равен:

 

 

Центральный момент четвертого порядка:

Показатель асимметрии равен:

По полученному значению показателя асимметрии (положительное и незначительно больше нуля), можно утверждать, что данный вариационный ряд обладает высокой правосторонней асимметрией (вытянут вправо).

 

Показатель эксцесса:

Поскольку показатель эксцесса значительно отличается от нуля можно сделать вывод, что данное распределение в значительной степени соответствует нормальному. Положительный знак эксцесса свидетельствует о некотором превышении высоты вершины над нормальным распределением.

 

1.5. Проверка вариационного ряда на соответствие нормальному распределению

 

Критерий c²-Пирсона определим по формуле:

где f_i – эмпирические частоты;

– теоретические частоты.

Теоретические частоты определим по формуле:

где – число наблюдений;

– величина интервала в группе;

– среднее квадратическое отклонение;

– нормированное отклонение вариант от средней арифметической.

 

Таблица 8

№ гр	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Число районов (частота), fi	Средняя площадь лесного фонда, тыс. га., xi		Число районов (теоретическое),
	1,1-222,6		111,85	-0,44323871		22,5
	222,6-444,1		333,35	0,39109298		4,9
	444,1-665,6		554,85	1,225424669
	665,6-887,1		776,35	2,059756359
	887,1-1108,6		997,85	2,894088049
	1108,6-1330,3		1219,35	3,728419738
	Итого		-			36,4

 

Получили расчетное значение критерия Пирсона:

Табличное значение критерия Пирсона при уровне значимости и числе степеней свободы равно:

Поскольку существенно больше, чем , то в соответствии с правилом применения критерия Пирсонаследует заключить, что есть отклонения фактического распределения от нормального. Другими словами наблюдаемый вариационный ряд соответствует нормальному распределению с высокой степенью вероятности.

 

1.6. Определение удельных показателей по группам

 

Для определения удельных показателей воспользуемся данными о площади лесного фонда по отдельным группам (табл. 5). Результаты вычислений представлены в таблице 9.

Таблица 9

№ гр	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Число районов (частота), fi	Средняя площадь лесного фонда, тыс. га., xi	Площадь лесного фонда группы, чел., xi · fi	Удельный вес по числу районов , %	Удельный вес по площади , %
	1,1-222,6		111,85	2796,25	78,1	38,07
	222,6-444,1		333,35	1000,05	9,4	13,62
	444,1-665,6		554,85			0,00
	665,6-887,1		776,35	2329,05	9,4	31,71
	887,1-1108,6		997,85			0,00
	1108,6-1330,3		1219,35	1219,35	3,1	16,60
	Итого			7344,7

Анализ полученных результатов (табл. 9) показывает, что преобладающей по числу входящих в нее районов является первая группа. А преобладающей площади лесного фонда, является также первая группа.

 

1.7. Построение кривой Лоренца, расчет показателей концентрации

 

Для построения кривой Лоренца, характеризующей неравномерность распределения, требуется вычислить как кумулятивные итоги (накопленные частоты) по удельному весу по числу районов

,

так и кумулятивные итоги по удельному весу площади

Таблица 10

№ гр	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Удельный вес по числу районов ,%	Удельный вес по площади , %	Кумулятивные итоги, %
по числу районов , %	по площади , %
	1,1-222,6	78,1	38,07	78,1	38,1
	222,6-444,1	9,4	13,62	87,5	51,7
	444,1-665,6		0,00	87,5	51,7
	665,6-887,1	9,4	31,71	96,9	83,4
	887,1-1108,6		0,00	96,9	83,4
	1108,6-1330,3	3,1	16,60		100,0

 

!!!!!!!!!!!!!!!!!

Рис.2. Кривая Лоренца

 

Коэффициент Джини:

Таблица 11

№ гр	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Кумулятивные итоги, %
по числу районов , %	по площади , %
	1,1-222,6	78,1	38,1	4036,8	3331,3
	222,6-444,1	87,5	51,7	4522,7	4522,7
	444,1-665,6	87,5	51,7	7297,3	5008,5
	665,6-887,1	96,9	83,4	8081,3	8081,3
	887,1-1108,6	96,9	83,4	9690,0	8339,8
	1108,6-1330,3		100,0	-	-

 

Коэффициент Лоренца:

Коэффициент Герфиндаля:

Таблица 12

№ гр	Площадь лесного фонда, тыс. га.	Удельный вес по числу районов , %	Удельный вес по площади , %
	1,1-222,6	78,1	38,07	40,03	1449,45
	222,6-444,1	9,4	13,62	-4,22	185,39
	444,1-665,6		0,00	0,00	0,00
	665,6-887,1	9,4	31,71	-22,31	1005,56
	887,1-1108,6		0,00	0,00	0,00
	1108,6-1330,3	3,1	16,60	-13,50	275,62
	Итого	100,0	100,0	80,06	2916,03

 

В соответствии с правилами интерпретации значений используемых коэффициентов концентрации все они свидетельствуют о незначительной неравномерности распределения.

 

 

1.8. Преобразование ряда с равными интервалами в равнонаполненный

 

Для образования четырех равнонаполненных групп необходимо разделить всю статистическую совокупность на группы, содержащие 25% от общего количества наблюдений. Такое деление можно произвести после расчета первого Q ₁и третьего Q ₃квартилей (второй квартиль Q ₂равен медиане Me, рассчитанной в п.1.2).

С учетом значения второго квартиля чел. получаем равнонаполненный вариационный ряд, приведенный в таблице 13.

Таблица 13

№ гр.	Интервал площади лесного фонда, чел.	Размер интервала	Количество районов, % к итогу
	1,1-71,8	70,7
	71,98-142,86	70,88
	142,86-213,74	70,88
	213,74-887,1	673,36

 

Из представленных в табл. 13 данных следует, что наименьший размер интервала, и, следовательно, наибольшая концентрация наблюдений (районов) приходится на первую группу. А наибольший размер интервала, и, следовательно, наименьшая концентрация наблюдений (районов) приходится на четвертую группу.

 

1.9. Выводы

Полученный в результате группировки интервальный вариационный ряд обладает незначительной правосторонней асимметрией и у него практически отсутствует эксцесс. Неравномерность распределения площади лесного фонда по отдельным районам незначительная.