Формулы.

(1)

x = arctg a + πk где k – любое целое число (k ∈ Z)

 

(2)

arctg (– a) = –arctg a

Билет №20 «Понятие производной функции. Вычисление производной по определению»

Определение: предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к 0 называют производной функцией в точке х˳

lim = fˡ(x˳)

 

1) Находим приращение функции на отрезке :

2) Делим приращение функции на приращение аргумента:
3) Находим предел устремляя к нулю. Переход к пределу мы будем записывать с помощью знака lim:

 

 

Билет №21 «Правила дифференцирования (доказать 1 и 2 правило)»

Операция нахождения производной функции называют дифференцированием.

1. Производное суммы

(f(x)+g(x))ˡ=fˡ(x)+gˡ(x)

Доказательство: n(x)=f(x)+g(x), hˡ(x)-?

1) Х – фиксированная точка

ΔХ – приращение аргумента

Х+ΔХ – новый аргумент

2) Δy=h(x+Δx)-h(x)=(f(x+Δx)+g(x+Δx))-(f(x)+g(x))=(f(x+Δx)-f(x))+(g(x+Δx)-g(x))

3) Δx→0 (под каждым lim)

=lim =lim + lim =fˡx+gˡx

2. Постоянный множитель можно выносить за знак производной

(c·f(x))ˡ=c·fˡ(x)

Доказательство: h(x)=c·f(x)

1) X – фиксированная точка

ΔХ – приращение аргумента

Х+ΔХ – новый аргумент

Докажем формулу . По определению производной имеем:

Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

 

3. Производное произведения

(f(x)·g(x))ˡ=fˡ(x)·g(x)+f(x)·gˡ(x)

4. Производное частного

=

5. Производное сложной функции

f(g(x))ˡ=fˡ(g(x))·gˡ(x)

 

Билет №22. Таблица Производных.

1)Степенная функция.

а) f(x) = x ^p , p є R

(x ^p)' = p • x ^p-1

2) f(х) = а ^х, а>0, а ≠1

(а ^х)' = а ^х • Ln a,( = )

(3 ^х)’= 3 ^х • Ln 3

(e ^х)' = e ^х , е=2,7

3) Логорифмическая функция.

f(x) = , а>0, а ≠1

( )' =

( )' =

4)Тригонометрические функции.

(sin x)' = cos x

(cos x)’= -sin x

(tg x)’ =

(ctg x)’=

Билет №23 Геометрический и физический смысл производной.